Номер 20, страница 227 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 20 «Объёмы тел вращения»

Проанализируйте задачи, приведённые в этом параграфе. Напишите программу для вычисления объёмов тел вращения с выбором вида тела (конус, цилиндр, усечённый конус, шар) и имеющихся о нём сведений через меню для пользователя программы.

Для решения задачи по созданию программы для вычисления объёмов тел вращения необходимо выполнить следующие шаги: провести анализ математических формул, спроектировать структуру программы и написать код. Ниже представлено развёрнутое решение.

Математические формулы

Программа должна вычислять объём для четырёх тел вращения: цилиндра, конуса, усечённого конуса и шара. Для каждого тела следует предусмотреть возможность расчёта по разным наборам исходных данных, предоставляя пользователю соответствующий выбор в меню.

Основные формулы для вычисления объёмов:

• Цилиндр
  • Через радиус основания $r$ и высоту $h$: $V = \pi r^2 h$
  • Через диаметр основания $d$ и высоту $h$: $V = \frac{1}{4} \pi d^2 h$, где $r = d/2$
• Конус
  • Через радиус основания $r$ и высоту $h$: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
  • Через радиус основания $r$ и образующую $l$: высота вычисляется по теореме Пифагора $h = \sqrt{l^2 - r^2}$, тогда $V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{l^2 - r^2}$ (при условии $l > r$)
• Усечённый конус
  • Через радиусы оснований $R$ (больший) и $r$ (меньший) и высоту $h$: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
• Шар
  • Через радиус $r$: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
  • Через диаметр $d$: $V = \frac{1}{6} \pi d^3$, где $r = d/2$

Ответ: Определены математические формулы для вычисления объёмов цилиндра, конуса, усечённого конуса и шара на основе различных наборов исходных данных.

Структура программы

Программа будет построена на основе консольного меню для взаимодействия с пользователем. Логика работы программы следующая:

1. Запускается главный цикл программы, который отображает основное меню.
2. Основное меню предлагает пользователю выбрать одно из тел вращения (цилиндр, конус, усечённый конус, шар) или выйти из программы.
3. После выбора тела вращения, программа отображает подменю, в котором пользователь выбирает, на основе каких известных параметров будет производиться расчёт (например, для цилиндра - по радиусу и высоте или по диаметру и высоте).
4. Программа запрашивает у пользователя ввод необходимых числовых значений.
5. Реализована проверка введённых данных: значения длин, радиусов, высот должны быть положительными. Для расчёта по образующей также проверяется выполнимость геометрических условий (например, образующая конуса должна быть больше радиуса основания). В случае неверного ввода, пользователю выводится сообщение об ошибке.
6. Если данные корректны, программа выполняет вычисление объёма по соответствующей формуле.
7. Результат вычислений выводится на экран в удобном для чтения формате с округлением до 4 знаков после запятой.
8. После вывода результата программа возвращается в основное меню, позволяя пользователю выполнить новый расчёт или завершить работу.

Ответ: Спроектирована структура консольной программы с иерархическим меню для выбора тела вращения, набора параметров, ввода данных и вывода результата.

Реализация программы на Python

Ниже приведён полный код программы на языке Python, реализующий описанный выше алгоритм. Для работы кода не требуются сторонние библиотеки, кроме встроенного модуля `math`.

import mathdef get_positive_float(prompt): "" Запрашивает у пользователя ввод положительного числа с плавающей точкой. Проверяет корректность ввода и повторяет запрос до получения верного значения. "" while True: try: value = float(input(prompt)) if value > 0: return value else: print("Ошибка: значение должно быть положительным числом.") except ValueError: print("Ошибка: введите корректное число.")def calculate_cylinder_volume(): ""Рассчитывает объем цилиндра по выбору пользователя."" print("\n--- Вычисление объема цилиндра ---") print("Выберите набор исходных данных:") print("1. По радиусу основания и высоте") print("2. По диаметру основания и высоте") choice = input("Ваш выбор (1-2): ") if choice == '1': r = get_positive_float("Введите радиус основания (r): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") volume = math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем цилиндра равен {volume:.4f}") elif choice == '2': d = get_positive_float("Введите диаметр основания (d): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") r = d / 2 volume = math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем цилиндра равен {volume:.4f}") else: print("Неверный выбор. Возврат в главное меню.")def calculate_cone_volume(): ""Рассчитывает объем конуса по выбору пользователя."" print("\n--- Вычисление объема конуса ---") print("Выберите набор исходных данных:") print("1. По радиусу основания и высоте") print("2. По радиусу основания и образующей") choice = input("Ваш выбор (1-2): ") if choice == '1': r = get_positive_float("Введите радиус основания (r): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") volume = (1/3) * math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем конуса равен {volume:.4f}") elif choice == '2': r = get_positive_float("Введите радиус основания (r): ") l = get_positive_float("Введите образующую (l): ") if l <= r: print("Ошибка: образующая должна быть строго больше радиуса основания.") return h = math.sqrt(l**2 - r**2) volume = (1/3) * math.pi * r**2 * h print(f"\nОбъем конуса равен {volume:.4f}") else: print("Неверный выбор. Возврат в главное меню.")def calculate_truncated_cone_volume(): ""Рассчитывает объем усеченного конуса."" print("\n--- Вычисление объема усеченного конуса ---") print("Для расчета введите радиусы оснований и высоту.") R = get_positive_float("Введите радиус большего основания (R): ") r = get_positive_float("Введите радиус меньшего основания (r): ") h = get_positive_float("Введите высоту (h): ") # Для удобства пользователя, если r > R, меняем их местами if r > R: R, r = r, R volume = (1/3) * math.pi * h * (R**2 + R*r + r**2) print(f"\nОбъем усеченного конуса равен {volume:.4f}")def calculate_sphere_volume(): ""Рассчитывает объем шара по выбору пользователя."" print("\n--- Вычисление объема шара ---") print("Выберите набор исходных данных:") print("1. По радиусу") print("2. По диаметру") choice = input("Ваш выбор (1-2): ") if choice == '1': r = get_positive_float("Введите радиус (r): ") volume = (4/3) * math.pi * r**3 print(f"\nОбъем шара равен {volume:.4f}") elif choice == '2': d = get_positive_float("Введите диаметр (d): ") r = d / 2 volume = (4/3) * math.pi * r**3 print(f"\nОбъем шара равен {volume:.4f}") else: print("Неверный выбор. Возврат в главное меню.")def main(): ""Главная функция с основным меню программы."" while True: print("\n===== Калькулятор объемов тел вращения =====") print("1. Цилиндр") print("2. Конус") print("3. Усеченный конус") print("4. Шар") print("0. Выход из программы") choice = input("Выберите тело вращения (введите номер): ") if choice == '1': calculate_cylinder_volume() elif choice == '2': calculate_cone_volume() elif choice == '3': calculate_truncated_cone_volume() elif choice == '4': calculate_sphere_volume() elif choice == '0': print("Завершение работы. До свидания!") break else: print("Неверный выбор. Пожалуйста, введите число от 0 до 4.")# Запуск основной функции программыif __name__ == "__main__": main()

Ответ: Представленный код является готовой программой, решающей поставленную задачу. Он позволяет пользователю в интерактивном режиме выбирать тело вращения и известные параметры, после чего вычисляет и выводит на экран его объём.