Номер 5, страница 229 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Теоремы Чевы и Менелая в пространстве

1. Габович И. Теорема Менелая для тетраэдра // Квант. — 1996. — № 6.

2. Эрдниев Б., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая // Квант. — 1990. — № 3.

3. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М. : Наука, 1989.

4. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Т. 3. Треугольники и тетраэдры. — М. : МЦНМО, 2009.

На изображении представлен список литературы по теме "Теоремы Чевы и Менелая в пространстве". Это не задача, а тема для рассмотрения. Ниже приведены формулировки и доказательства пространственных аналогов этих теорем для тетраэдра.

Теорема Менелая в пространстве (для тетраэдра)

Формулировка: Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Плоскость $\pi$ пересекает прямые, содержащие ребра $AB, BC, CD, DA$, в точках $P, Q, R, S$ соответственно. Тогда произведение отношений, в которых эти точки делят соответствующие ребра, равно единице: $$ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = 1 $$ Здесь используются отношения направленных отрезков. Отношение $\frac{AX}{XB}$ положительно, если точка $X$ лежит на отрезке $AB$, и отрицательно, если $X$ лежит на продолжении отрезка $AB$.

Доказательство: Введём вспомогательную величину: $h_M$ — знаковое расстояние от вершины $M$ до плоскости $\pi$. Расстояние положительно, если точка находится с одной стороны от плоскости (выбранной как положительная), и отрицательно, если с другой.

Рассмотрим пару подобных треугольников, которые образуются при проекции отрезка $AB$ и точки $P$ на прямую, перпендикулярную плоскости $\pi$. Из подобия следует, что отношение длин отрезков $|AP|$ и $|PB|$ равно отношению абсолютных значений расстояний от точек $A$ и $B$ до плоскости $\pi$: $$ \frac{|AP|}{|PB|} = \frac{|h_A|}{|h_B|} $$

Теперь учтем знаки. Отношение направленных отрезков $\frac{AP}{PB}$ определяется как скаляр $\lambda$, такой что $\vec{AP} = \lambda \vec{PB}$. Точка $P$ лежит на прямой $AB$, и её радиус-вектор $\vec{p}$ можно выразить через радиус-векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ точек $A$ и $B$: $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \lambda \vec{b}}{1+\lambda}$. Расстояние от точки $P$ до плоскости $\pi$ равно нулю. Используя формулу для знакового расстояния, получаем: $$ h_P = \frac{h_A + \lambda h_B}{1+\lambda} = 0 \implies h_A + \lambda h_B = 0 \implies \lambda = -\frac{h_A}{h_B} $$ Таким образом, $\frac{AP}{PB} = -\frac{h_A}{h_B}$.

Аналогичные соотношения можно записать для остальных точек пересечения: $$ \frac{BQ}{QC} = -\frac{h_B}{h_C} $$ $$ \frac{CR}{RD} = -\frac{h_C}{h_D} $$ $$ \frac{DS}{SA} = -\frac{h_D}{h_A} $$

Перемножая эти четыре равенства, получаем: $$ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = \left(-\frac{h_A}{h_B}\right) \cdot \left(-\frac{h_B}{h_C}\right) \cdot \left(-\frac{h_C}{h_D}\right) \cdot \left(-\frac{h_D}{h_A}\right) = (-1)^4 \frac{h_A h_B h_C h_D}{h_B h_C h_D h_A} = 1 $$ Теорема доказана. Обратное утверждение также верно: если для точек $P, Q, R, S$, лежащих на прямых $AB, BC, CD, DA$ соответственно, выполняется данное равенство, то эти четыре точки лежат в одной плоскости.

Ответ: Произведение отношений направленных отрезков равно 1: $ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} = 1 $.

Теорема Чевы в пространстве (для тетраэдра)

Формулировка: Пусть дан тетраэдр $ABCD$ и произвольная точка $O$ в пространстве. Прямые $AO, BO, CO, DO$ пересекают плоскости противоположных граней $BCD, ACD, ABD, ABC$ в точках $P, Q, R, S$ соответственно. Тогда сумма отношений длин отрезков, на которые точки $P, Q, R, S$ делят соответствующие чевианы (отрезки от вершины до противоположной грани), равна 1: $$ \frac{OP}{AP} + \frac{OQ}{BQ} + \frac{OR}{CR} + \frac{OS}{DS} = 1 $$ Здесь также используются отношения направленных отрезков. Например, отношение $\frac{OP}{AP}$ положительно, если точка $O$ лежит между $A$ и $P$.

Доказательство: Доказательство удобно провести, используя метод объемов. Пусть $V(XYZW)$ обозначает знаковый объем тетраэдра $XYZW$.

Рассмотрим отношение $\frac{OP}{AP}$. Точки $A, O, P$ лежат на одной прямой. Пусть $h_A$ — высота тетраэдра $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на плоскость грани $BCD$, а $h_O$ — высота тетраэдра $OBCD$, опущенная из вершины $O$ на ту же плоскость. Из подобия треугольников (в сечении, перпендикулярном плоскости $BCD$ и проходящем через прямую $AP$) следует, что отношение высот равно отношению отрезков на прямой $AP$: $$ \frac{h_O}{h_A} = \frac{OP}{AP} $$ (с учётом знаков).

Объем тетраэдра вычисляется как $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$. Тогда отношение объемов тетраэдров $OBCD$ и $ABCD$ с общим основанием $BCD$ равно отношению их высот: $$ \frac{V(OBCD)}{V(ABCD)} = \frac{\frac{1}{3} S_{BCD} \cdot h_O}{\frac{1}{3} S_{BCD} \cdot h_A} = \frac{h_O}{h_A} $$ Следовательно, $$ \frac{OP}{AP} = \frac{V(OBCD)}{V(ABCD)} $$

Проводя аналогичные рассуждения для остальных чевиан, получаем: $$ \frac{OQ}{BQ} = \frac{V(OACD)}{V(BACD)} = \frac{V(OACD)}{V(ABCD)} $$ $$ \frac{OR}{CR} = \frac{V(OABD)}{V(CABD)} = \frac{V(OABD)}{V(ABCD)} $$ $$ \frac{OS}{DS} = \frac{V(OABC)}{V(DABC)} = \frac{V(OABC)}{V(ABCD)} $$ (Знаки объемов согласованы так, что $V(BACD) = -V(ABCD)$ и т.д., но при правильном выборе ориентации все объемы в знаменателе будут равны $V(ABCD)$).

Складывая эти четыре равенства, получаем: $$ \frac{OP}{AP} + \frac{OQ}{BQ} + \frac{OR}{CR} + \frac{OS}{DS} = \frac{V(OBCD) + V(OACD) + V(OABD) + V(OABC)}{V(ABCD)} $$ Сумма (знаковых) объемов тетраэдров с общей вершиной $O$ и основаниями на гранях тетраэдра $ABCD$ равна объему самого тетраэдра $ABCD$. Таким образом, числитель равен знаменателю. $$ \frac{V(ABCD)}{V(ABCD)} = 1 $$ Теорема доказана.

Ответ: Сумма отношений направленных отрезков чевиан равна 1: $ \frac{OP}{AP} + \frac{OQ}{BQ} + \frac{OR}{CR} + \frac{OS}{DS} = 1 $.