Номер 19, страница 227 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 19 «Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды»

1. Проанализируйте задачи, приведённые в этом параграфе. Напишите программу для вычисления объёма пирамиды (усечённой пирамиды) с использованием различных исходных данных, описывающих саму пирамиду и её элементы. Выбор имеющихся данных осуществляйте через меню для пользователя программы.

2. Попробуйте составить алгоритм, по которому можно вычислить объём произвольного выпуклого многогранника с помощью разбиения его на пирамиды. Какой шаг этого алгоритма наиболее сложный?

1.

Для решения этой задачи необходимо написать программу, которая будет вычислять объем пирамиды и усеченной пирамиды на основе различных наборов входных данных, предоставляемых пользователем через меню. Основные формулы, которые будут использоваться:

• Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.
• Объем усеченной пирамиды: $V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $H$ — высота, $S_1$ и $S_2$ — площади верхнего и нижнего оснований.

Программа может предлагать пользователю следующие варианты для вычислений через меню:

Для полной пирамиды:

1. Вычисление объема по известной площади основания и высоте. Это самый прямой способ.
2. Вычисление объема правильной пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник. Пользователь вводит количество сторон основания $n$, длину стороны $a$ и высоту пирамиды $H$. Программа сначала вычисляет площадь основания по формуле: $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$, а затем находит объем.

Для усеченной пирамиды:

1. Вычисление объема по известным площадям двух оснований и высоте.
2. Вычисление объема правильной усеченной пирамиды. Пользователь вводит количество сторон оснований $n$, длины сторон нижнего ($a_1$) и верхнего ($a_2$) оснований, а также высоту $H$. Программа вычисляет площади $S_1$ и $S_2$ по формуле для правильного n-угольника и затем подставляет их в формулу объема усеченной пирамиды.

Ниже приведен пример такой программы на языке Python, демонстрирующий реализацию меню и вычислений.

import mathdef regular_polygon_area(n, a): ""Вычисляет площадь правильного n-угольника со стороной a."" if n < 3 or a <= 0: return None return (n * a**2) / (4 * math.tan(math.pi / n))def pyramid_volume_by_area_height(): try: area = float(input("Введите площадь основания: ")) height = float(input("Введите высоту пирамиды: ")) if area <= 0 or height <= 0: print("Площадь и высота должны быть положительными числами.") return volume = (1/3) * area * height print(f"Объем пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def regular_pyramid_volume(): try: n = int(input("Введите количество сторон правильного многоугольника в основании: ")) a = float(input("Введите длину стороны основания: ")) height = float(input("Введите высоту пирамиды: ")) area = regular_polygon_area(n, a) if area is None or height <= 0: print("Некорректные данные для основания или высоты.") return volume = (1/3) * area * height print(f"Объем правильной пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def truncated_pyramid_volume_by_areas_height(): try: s1 = float(input("Введите площадь нижнего основания (S1): ")) s2 = float(input("Введите площадь верхнего основания (S2): ")) height = float(input("Введите высоту усеченной пирамиды: ")) if s1 <= 0 or s2 <= 0 or height <= 0: print("Площади и высота должны быть положительными числами.") return volume = (1/3) * height * (s1 + s2 + math.sqrt(s1 * s2)) print(f"Объем усеченной пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def regular_truncated_pyramid_volume(): try: n = int(input("Введите количество сторон оснований: ")) a1 = float(input("Введите длину стороны нижнего основания: ")) a2 = float(input("Введите длину стороны верхнего основания: ")) height = float(input("Введите высоту усеченной пирамиды: ")) s1 = regular_polygon_area(n, a1) s2 = regular_polygon_area(n, a2) if s1 is None or s2 is None or height <= 0: print("Некорректные данные для оснований или высоты.") return volume = (1/3) * height * (s1 + s2 + math.sqrt(s1 * s2)) print(f"Объем правильной усеченной пирамиды: {volume:.4f}") except ValueError: print("Ошибка: введите корректные числовые значения.")def main(): while True: print("\n--- Меню вычисления объема ---") print("1. Объем пирамиды (по площади основания и высоте)") print("2. Объем правильной n-угольной пирамиды") print("3. Объем усеченной пирамиды (по площадям оснований и высоте)") print("4. Объем правильной n-угольной усеченной пирамиды") print("5. Выход") choice = input("Выберите пункт меню: ") if choice == '1': pyramid_volume_by_area_height() elif choice == '2': regular_pyramid_volume() elif choice == '3': truncated_pyramid_volume_by_areas_height() elif choice == '4': regular_truncated_pyramid_volume() elif choice == '5': print("Завершение работы программы.") break else: print("Неверный выбор. Пожалуйста, введите число от 1 до 5.")if __name__ == "__main__": main() 

Ответ: Представлена концепция и пример реализации программы на Python для вычисления объемов пирамиды и усеченной пирамиды с использованием различных исходных данных, выбираемых пользователем через меню. Программа включает функции для расчета на основе как готовых площадей, так и параметров правильных многоугольников в основаниях.

2.

Алгоритм для вычисления объёма произвольного выпуклого многогранника с помощью разбиения его на пирамиды может быть следующим:

1. Выбор внутренней точки. Внутри выпуклого многогранника выбирается произвольная точка $P$. Чтобы гарантировать, что точка находится внутри, можно взять, например, центр масс вершин многогранника. Если вершины имеют координаты $(x_i, y_i, z_i)$, то координаты точки $P$ можно вычислить как среднее арифметическое координат всех вершин: $P = (\frac{\sum x_i}{N}, \frac{\sum y_i}{N}, \frac{\sum z_i}{N})$, где $N$ — количество вершин.
2. Разбиение на пирамиды. Каждая грань многогранника принимается за основание отдельной пирамиды. Общей вершиной (апексом) для всех этих пирамид будет выбранная внутренняя точка $P$. Таким образом, многогранник разбивается на столько пирамид, сколько у него граней.
3. Вычисление объема каждой пирамиды. Для каждой пирамиды, образованной гранью $F_i$ и вершиной $P$, необходимо вычислить её объем по формуле $V_i = \frac{1}{3} S_i \cdot H_i$.
   • $S_i$ — это площадь грани $F_i$.
   • $H_i$ — это высота пирамиды, то есть перпендикулярное расстояние от точки $P$ до плоскости, содержащей грань $F_i$.
4. Суммирование объемов. Общий объем многогранника $V$ равен сумме объемов всех полученных пирамид: $V = \sum V_i$.

Наиболее сложным шагом этого алгоритма является шаг 3: вычисление объема каждой отдельной пирамиды. Сложность этого шага заключается в двух подзадачах, требующих знаний аналитической геометрии в трехмерном пространстве:

1. Вычисление площади $S_i$ произвольной плоской грани в 3D-пространстве. Грань может быть многоугольником с любым числом вершин, расположенным под произвольным углом к осям координат. Для этого обычно грань триангулируют (разбивают на треугольники) и суммируют их площади, либо используют векторные методы (например, обобщение метода Гаусса на 3D).
2. Вычисление высоты $H_i$. Для этого необходимо:
   • Определить уравнение плоскости, в которой лежит грань $F_i$. Это можно сделать, зная координаты как минимум трех её вершин.
   • Вычислить расстояние от точки $P$ до этой плоскости по формуле расстояния от точки до плоскости.

Остальные шаги (выбор точки, итерация по граням, суммирование) являются вычислительно более простыми по сравнению с комплексными геометрическими расчетами на шаге 3.

Ответ: Алгоритм заключается в выборе внутренней точки многогранника, рассмотрении каждой грани как основания пирамиды с вершиной в этой точке и суммировании объемов полученных пирамид. Наиболее сложным шагом является вычисление объема каждой такой пирамиды, что включает в себя определение площади произвольно ориентированной в пространстве грани и вычисление расстояния от внутренней точки до плоскости этой грани.