Номер 16, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 16 «Тела вращения, вписанные в сферу» § 17 «Тела вращения, описанные около сферы»

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Анализ задач, связанных с комбинациями тел (многогранников, цилиндров, конусов) и сфер, позволяет выделить следующие основные типы аналогичных задач.

Задачи на установление связи между геометрическими параметрами тел

Это базовый тип задач, в которых необходимо выразить линейные размеры (радиус, высоту, длину ребра, апофему) одного тела через параметры другого.

Пример 1: Найти ребро $a$ куба, вписанного в сферу радиуса $R$.

Решение: Центр сферы, описанной около куба, совпадает с точкой пересечения диагоналей куба. Диагональ куба $d$ является диаметром описанной сферы, т.е. $d=2R$. В то же время, диагональ куба связана с его ребром $a$ соотношением $d = a\sqrt{3}$. Приравнивая два выражения для диагонали, получаем: $a\sqrt{3} = 2R$. Отсюда находим ребро куба: $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Ответ: $a = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Пример 2: Определить радиус $r$ и высоту $h$ цилиндра, описанного около сферы радиуса $R$.

Решение: Если цилиндр описан около сферы, то сфера касается его оснований и боковой поверхности. Это возможно только для равностороннего цилиндра, у которого высота равна диаметру основания ($h=2r$). Радиус сферы $R$ в этом случае равен радиусу основания цилиндра $r$, а высота цилиндра $h$ равна диаметру сферы $2R$. Таким образом, $r = R$ и $h = 2R$.
Ответ: $r=R, h=2R$.

Задачи на вычисление объемов и площадей поверхностей

В этих задачах, зная параметры одного тела, требуется вычислить объем или площадь поверхности другого. Обычно это является вторым шагом после нахождения связи между их размерами.

Пример 1: Найти объем $V$ конуса, вписанного в сферу радиуса $R$, если его образующая $l$ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.

Решение: Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Это будет равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Высота конуса $h = l \sin \alpha$, радиус основания $r = l \cos \alpha$. Известно, что квадрат стороны треугольника, вписанного в окружность, равен произведению его проекции на диаметр, проведенный из одного из его концов, на сам диаметр. В нашем случае, $l^2 = h \cdot 2R$. Подставив $h = l \sin \alpha$, получаем $l^2 = (l \sin \alpha) \cdot 2R$, откуда образующая $l = 2R \sin \alpha$. Теперь находим $h$ и $r$: $h = (2R \sin \alpha) \sin \alpha = 2R \sin^2 \alpha$, $r = (2R \sin \alpha) \cos \alpha = 2R \sin \alpha \cos \alpha$. Объем конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2R \sin \alpha \cos \alpha)^2 (2R \sin^2 \alpha) = \frac{8}{3}\pi R^3 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha$.
Ответ: $V = \frac{8}{3}\pi R^3 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha$.

Пример 2: Найти площадь полной поверхности $S$ правильной четырехугольной призмы, описанной около сферы радиуса $R$.

Решение: Если призма описана около сферы, то сфера вписана в призму. Это означает, что высота призмы $h$ равна диаметру сферы $2R$, а основанием призмы является квадрат, в который вписана окружность радиуса $R$. Сторона такого квадрата $a$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $a=2R$. Таким образом, призма является кубом с ребром $a=2R$. Площадь полной поверхности куба: $S = 6a^2 = 6(2R)^2 = 24R^2$.
Ответ: $S = 24R^2$.

Задачи на нахождение отношений объемов и площадей поверхностей

В таких задачах требуется найти отношение соответствующих характеристик (объемов, площадей) тел, составляющих комбинацию. Часто при вычислении отношений конкретные значения параметров (например, радиус сферы) сокращаются.

Пример: Найти отношение объема шара к объему описанного около него куба.

Решение: Пусть радиус шара равен $R$. Ребро $a$ куба, описанного около шара, равно диаметру вписанного шара, то есть $a = 2R$. Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объем куба: $V_{куба} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$. Искомое отношение: $\frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{4\pi}{3 \cdot 8} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Задачи на нахождение экстремальных значений (оптимизационные задачи)

Это задачи, в которых требуется найти такие параметры вписанного или описанного тела, при которых его объем, площадь поверхности или другой параметр принимает наибольшее или наименьшее значение.

Пример: В сферу радиуса $R$ вписан конус. При какой высоте $h$ объем конуса будет наибольшим?

Решение: Пусть $r$ — радиус основания конуса. Связь между параметрами (из прямоугольного треугольника в осевом сечении): $r^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$. (Здесь центр сферы находится на высоте конуса, расстояние от центра до основания равно $|h-R|$). Объем конуса $V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3)$. Для нахождения максимума исследуем функцию $V(h)$ на отрезке $h \in (0, 2R)$. Найдем производную: $V'(h) = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) = \frac{\pi h}{3}(4R - 3h)$. Приравняем производную к нулю: $V'(h) = 0$. Так как $h \neq 0$, получаем $4R - 3h = 0$, откуда $h = \frac{4R}{3}$. Это точка максимума, так как при $h < \frac{4R}{3}$ производная положительна (функция возрастает), а при $h > \frac{4R}{3}$ — отрицательна (функция убывает).
Ответ: $h = \frac{4R}{3}$.