Номер 14, страница 226 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Дружим с компьютером - номер 14, страница 226.

Условие.

K § 14 «Многогранники, вписанные в сферу», S. 15. Многогранники, описанные около сферы.

Проанализируйте задания, которые вы выполняли в предыдущих параграфах, и определите, какие аналогичные задачи вы можете решить для сферы и многогранников, конуса и цилиндра, вписанных в неё и описанных около неё.

Решение 3.

Анализируя задачи, связанные с многоугольниками и окружностями (вписанными и описанными) в планиметрии, можно выделить несколько типов аналогичных задач для пространственных тел: сферы, многогранников, конусов и цилиндров. Эти задачи, как правило, сводятся к рассмотрению плоских сечений, в которых применяются уже известные планиметрические факты.

Основные типы задач, которые можно решать для комбинаций этих тел:

• Задачи на нахождение линейных размеров: определение радиуса сферы по известным размерам тела (и наоборот), нахождение высоты, ребра, радиуса основания и других элементов тела по радиусу сферы.
• Задачи на нахождение площадей и объемов: вычисление площади поверхности и объема одного тела, если известны параметры другого.
• Задачи на нахождение отношений: вычисление отношений объемов или площадей поверхностей тел.
• Задачи на оптимизацию: нахождение тела с наибольшим/наименьшим объемом или площадью поверхности, которое можно вписать в данную сферу или описать около нее.
• Задачи на определение условий: выяснение, при каких условиях можно вписать сферу в тело или описать сферу около него.

Рассмотрим эти типы задач на конкретных примерах для различных комбинаций тел.

---

Многогранники и сфера

1. Многогранник, вписанный в сферу (сфера описана около многогранника)

В этом случае все вершины многогранника лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника.

Пример задачи: Найти радиус $R$ сферы, описанной около куба с ребром $a$.

Решение: Центр сферы, описанной около куба, совпадает с центром куба – точкой пересечения его диагоналей. Диаметр сферы равен диагонали куба. Диагональ $d$ куба с ребром $a$ находится по формуле $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Радиус сферы равен половине диагонали.

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Многогранник, описанный около сферы (сфера вписана в многогранник)

В этом случае все грани многогранника касаются поверхности сферы. Центр вписанной сферы равноудален от всех граней многогранника.

Пример задачи: Найти радиус $r$ сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а высота – $H$.

Решение: Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Задача сводится к планиметрической: нужно рассмотреть осевое сечение пирамиды, проходящее через апофему. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность (большой круг сферы). Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы. Апофема основания равна $m = a/2$. Апофема боковой грани $L = \sqrt{H^2 + (a/2)^2}$. Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, $p$ – его полупериметр. $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$, $p = \frac{a + 2L}{2}$.

Ответ: $r = \frac{aH}{a + 2\sqrt{H^2 + a^2/4}} = \frac{aH}{a + \sqrt{4H^2 + a^2}}$.

---

Цилиндр и сфера

1. Цилиндр, вписанный в сферу

Окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы.

Пример задачи: Найти объем цилиндра с высотой $h$, вписанного в сферу радиуса $R$.

Решение: Рассматриваем осевое сечение, которое представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Высота прямоугольника равна $h$, а ширина – $2r_{ц}$, где $r_{ц}$ – радиус основания цилиндра. Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, то есть $2R$. По теореме Пифагора для половины прямоугольника: $R^2 = r_{ц}^2 + (\frac{h}{2})^2$. Отсюда находим квадрат радиуса основания цилиндра: $r_{ц}^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$. Объем цилиндра $V = \pi r_{ц}^2 h = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h$.

Ответ: $V = \pi h (R^2 - \frac{h^2}{4})$.

2. Цилиндр, описанный около сферы

Сфера касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Такой цилиндр называется равносторонним.

Пример задачи: Найти отношение объема сферы к объему описанного около нее цилиндра.

Решение: Если сфера радиуса $R$ вписана в цилиндр, то радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра равна диаметру сферы, то есть $2R$.
Объем сферы: $V_{сф} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Объем цилиндра: $V_{ц} = \pi r_{ц}^2 h_{ц} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$.
Отношение объемов: $\frac{V_{сф}}{V_{ц}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Отношение объемов равно $2:3$.

---

Конус и сфера

1. Конус, вписанный в сферу

Вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности сферы.

Пример задачи: Конус, радиус основания которого $r$, а высота $h$, вписан в сферу. Найти радиус сферы $R$.

Решение: Рассматриваем осевое сечение – равнобедренный треугольник, вписанный в окружность. Пусть центр сферы $O$ лежит на высоте конуса $SH$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания конуса $r$ (катет) и расстоянием от центра сферы до основания конуса $|h-R|$ (второй катет), по теореме Пифагора имеем: $R^2 = r^2 + (h-R)^2$. Раскрываем скобки: $R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$. Отсюда $2hR = r^2 + h^2$.

Ответ: $R = \frac{r^2+h^2}{2h}$.

2. Конус, описанный около сферы

Сфера касается основания конуса и всех его образующих.

Пример задачи: Найти радиус $R$ сферы, вписанной в конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Решение: Задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно $2r$, высота $h$. Образующая конуса $l = \sqrt{h^2+r^2}$ является боковой стороной треугольника. Радиус вписанной окружности (и сферы) находится по формуле $R = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, $p$ – его полупериметр.
$S = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$.
$p = \frac{2r + 2l}{2} = r+l = r+\sqrt{h^2+r^2}$.

Ответ: $R = \frac{rh}{r+\sqrt{h^2+r^2}}$.