Номер 22.187, страница 222 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.187. Вершина $A$ квадрата $ABCD$ является центром поворота на угол $90^\circ$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ — образ точки $C$ при указанном повороте, если $AB = 1 \text{ см}$.

По условию, нам дан квадрат $ABCD$ со стороной $AB = 1$ см. Вершина $A$ является центром поворота на угол $90^\circ$. Точка $C_1$ — это образ точки $C$ после этого поворота. Нам необходимо найти длину отрезка $BC_1$.

1. Определим свойства поворота.
Поворот является изометрическим преобразованием, то есть он сохраняет расстояния. Расстояние от центра поворота до точки равно расстоянию от центра поворота до ее образа. Таким образом, $AC = AC_1$. Угол, образованный отрезками, соединяющими центр поворота с точкой и ее образом, равен углу поворота. Следовательно, $\angle CAC_1 = 90^\circ$.

2. Найдем длину диагонали $AC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (поскольку $\angle B = 90^\circ$ в квадрате). Стороны квадрата равны, поэтому $AB = BC = 1$ см. По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда диагональ $AC = \sqrt{2}$ см. Так как $AC = AC_1$, то $AC_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$.
В этом треугольнике мы знаем длины двух сторон $AC = \sqrt{2}$ см, $AC_1 = \sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle CAC_1 = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle ACC_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle BCC_1$.
Для того чтобы найти длину стороны $BC_1$, мы можем применить к этому треугольнику теорему косинусов: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 - 2 \cdot BC \cdot CC_1 \cdot \cos(\angle BCC_1)$. Для этого нам нужно найти длину $CC_1$ и угол $\angle BCC_1$.

5. Найдем длину $CC_1$ и угол $\angle BCC_1$.
Длину $CC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle ACC_1$ по теореме Пифагора: $CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$. Значит, $CC_1 = \sqrt{4} = 2$ см. Угол $\angle BCC_1$ зависит от направления поворота. Угол $\angle BCA$ — это угол между стороной и диагональю квадрата, он равен $45^\circ$. Угол $\angle ACC_1$ — это угол при основании в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle ACC_1$, он также равен $\frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$. В задаче не указано направление поворота. Примем за стандартное направление поворот против часовой стрелки. В этом случае углы складываются: $\angle BCC_1 = \angle BCA + \angle ACC_1 = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

6. Вычислим длину $BC_1$.
Теперь мы знаем, что треугольник $\triangle BCC_1$ — прямоугольный, с катетами $BC = 1$ см и $CC_1 = 2$ см. По теореме Пифагора: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. $BC_1 = \sqrt{5}$ см.

Примечание: Если бы поворот был по часовой стрелке, то угол $\angle BCC_1 = |\angle BCA - \angle ACC_1| = |45^\circ - 45^\circ| = 0^\circ$. Это означало бы, что точки B, C, $C_1$ лежат на одной прямой, и тогда $BC_1 = CC_1 - BC = 2-1 = 1$ см. Однако, по умолчанию, поворот на положительный угол считается поворотом против часовой стрелки.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.