Номер 22.181, страница 221 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.181. Прямоугольник AMKP, изображённый на рисунке 22.14, является образом прямоугольника ABCD при повороте против часовой стрелки на угол $90^\circ$. Какая точка является центром поворота?

Рис. 22.14

По определению, центр поворота — это точка, которая остаётся неподвижной при выполнении поворота. Все остальные точки фигуры перемещаются по дугам окружностей с центром в этой точке.

В условии задачи сказано, что прямоугольник $AMKP$ получен поворотом прямоугольника $ABCD$ на $90°$ против часовой стрелки. На рисунке видно, что точка $A$ является вершиной как исходного прямоугольника $ABCD$, так и полученного прямоугольника $AMKP$. Логично предположить, что вершина $A$ при повороте перешла сама в себя. Если точка при повороте отображается сама на себя, то она и является центром поворота.

Проверим это предположение. Если $A$ — центр поворота, то для любой точки $X$ прямоугольника $ABCD$ её образ $X'$ в прямоугольнике $AMKP$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Расстояния до центра поворота равны: $|AX| = |AX'|$.
2. Угол, образованный отрезками $AX$ и $AX'$, равен углу поворота: $\angle XAX' = 90°$, причём поворот от луча $AX$ к лучу $AX'$ происходит против часовой стрелки.

Применим эти условия к вершинам прямоугольника $ABCD$:

- Вершина D: Отрезок $AD$ лежит на горизонтальной прямой. При повороте на $90°$ против часовой стрелки вокруг точки $A$ его образом станет вертикальный отрезок такой же длины. Из рисунка видно, что таким отрезком, выходящим из вершины $A$ нового прямоугольника, является отрезок $AP$. Угол $\angle DAP$ действительно равен $90°$, и направление поворота от $AD$ к $AP$ — против часовой стрелки. Следовательно, вершина $D$ переходит в вершину $P$. Это означает, что $|AD| = |AP|$.

- Вершина B: Отрезок $AB$ является вертикальным. При повороте на $90°$ против часовой стрелки вокруг точки $A$ его образом станет горизонтальный отрезок такой же длины, направленный влево. На рисунке таким отрезком является $AM$. Угол $\angle BAM$ равен $90°$, и направление поворота от $AB$ к $AM$ — против часовой стрелки. Следовательно, вершина $B$ переходит в вершину $M$. Это означает, что $|AB| = |AM|$.

Поскольку поворот является изометрией (движением), прямоугольники $ABCD$ и $AMKP$ равны. Длины сторон прямоугольника $ABCD$ — это $|AD|$ и $|AB|$. Длины сторон прямоугольника $AMKP$ — это $|AM|$ и $|AP|$. Наша проверка показала, что $|AD| = |AP|$ и $|AB| = |AM|$. Это означает, что длина одного прямоугольника равна ширине другого, и наоборот, что полностью соответствует их равенству.

Таким образом, предположение о том, что точка $A$ является центром поворота, полностью подтверждается.

Ответ: Центром поворота является точка A.