Страница 223 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

К § 1 «Декартовы координаты точки в пространстве»

1. Напишите программу, которая изображает на экране компьютера оси декартовой системы координат с выбранным единичным отрезком. Напишите программу, которая по заданным координатам точки изображает её в этой системе координат. Для изображения отрезков найдите в изучаемом языке программирования средства изображения отрезка на экране компьютера.

2. Запишите алгоритм для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве, заданными своими координатами. Какие структуры данных изучаемого языка программирования вы выберете для задания точки в пространстве? Напишите по этому алгоритму подпрограмму.

3. Напишите программу для нахождения координат середины отрезка.

1.

Для изображения декартовой системы координат и точек в пространстве на экране компьютера можно использовать различные языки программирования и графические библиотеки. В качестве примера будет использован язык Python и популярная библиотека для визуализации данных matplotlib.

Сначала необходимо установить библиотеку, если она отсутствует:

pip install matplotlib

Ниже приведена программа, которая сначала создает окно с трехмерной системой координат (оси X, Y, Z), а затем отображает в этой системе точку с заданными координатами (например, (3, 5, 7)). Единичный отрезок на осях определяется автоматически масштабом графика.

# Импортируем необходимые модулиimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# --- Программа для изображения осей и точки ---def draw_3d_system_and_point(point_coords): "" Функция для изображения 3D системы координат и точки в ней. :param point_coords: кортеж с тремя координатами точки (x, y, z) "" # Создаем фигуру и трехмерные оcи fig = plt.figure(figsize=(8, 8)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') # Задаем координаты точки x, y, z = point_coords # Изображаем точку на графике # s - размер точки, c - цвет, label - метка ax.scatter(x, y, z, color='r', s=50, label=f'Точка ({x}, {y}, {z})') # Настройка осей координат для наглядности # Рисуем оси, выходящие из начала координат ax.quiver(0, 0, 0, 10, 0, 0, color='k', arrow_length_ratio=0.05) # Ось X ax.quiver(0, 0, 0, 0, 10, 0, color='k', arrow_length_ratio=0.05) # Ось Y ax.quiver(0, 0, 0, 0, 0, 10, color='k', arrow_length_ratio=0.05) # Ось Z # Подписываем оси ax.set_xlabel('Ось X') ax.set_ylabel('Ось Y') ax.set_zlabel('Ось Z') # Устанавливаем пределы для осей, чтобы начало координат было видно ax.set_xlim([0, 10]) ax.set_ylim([0, 10]) ax.set_zlim([0, 10]) # Добавляем заголовок и легенду ax.set_title('Декартова система координат в пространстве') ax.legend() ax.grid(True) # Показываем график plt.show()# --- Основная часть программы ---if __name__ == '__main__': # Задаем координаты точки для отображения my_point = (3, 5, 7) # Вызываем функцию для отрисовки draw_3d_system_and_point(my_point)

В данной программе средством для изображения отрезков (в данном случае, векторов осей) и точек является библиотека matplotlib. Функция ax.scatter используется для отрисовки точки, а ax.quiver — для отрисовки векторов, представляющих оси.

Ответ: Выше приведена программа на языке Python с использованием библиотеки matplotlib, которая изображает на экране оси трехмерной декартовой системы координат и точку с заданными координатами.

2.

Алгоритм нахождения расстояния между двумя точками в пространстве основан на теореме Пифагора в трехмерном пространстве. Расстояние является длиной отрезка, соединяющего эти две точки.

Пусть есть две точки: $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Получить координаты двух точек.
2. Вычислить разность соответствующих координат: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$, $\Delta z = z_2 - z_1$.
3. Возвести каждую разность в квадрат: $(\Delta x)^2$, $(\Delta y)^2$, $(\Delta z)^2$.
4. Сложить полученные квадраты: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$.
5. Извлечь квадратный корень из полученной суммы. Это и будет искомое расстояние.

Формула для вычисления расстояния $d$ выглядит следующим образом:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Для задания точки в пространстве в языке программирования можно выбрать различные структуры данных:

• Кортеж (tuple): например, point = (1, 2, 3). Это простой и неизменяемый (immutable) способ хранения координат.
• Список (list): например, point = [1, 2, 3]. Похож на кортеж, но является изменяемым (mutable).
• Словарь (dict): например, point = {'x': 1, 'y': 2, 'z': 3}. Более описательный, но и более громоздкий способ.
• Класс (class): создание собственного типа данных, например, class Point: .... Это наиболее структурированный и объектно-ориентированный подход. Он позволяет не только хранить данные (координаты), но и связывать с ними поведение (методы). Для данной задачи использование класса является предпочтительным.

Ниже приведена подпрограмма (функция) на Python, реализующая данный алгоритм. Для представления точки используется класс.

import math# Определение структуры данных (класса) для точкиclass Point3D: def __init__(self, x, y, z): self.x = x self.y = y self.z = z def __str__(self): return f"({self.x}, {self.y}, {self.z})"# Подпрограмма для нахождения расстоянияdef calculate_distance(p1, p2): "" Вычисляет расстояние между двумя точками в 3D пространстве. :param p1: объект класса Point3D, первая точка :param p2: объект класса Point3D, вторая точка :return: float, расстояние между точками "" delta_x_sq = (p2.x - p1.x) ** 2 delta_y_sq = (p2.y - p1.y) ** 2 delta_z_sq = (p2.z - p1.z) ** 2 distance = math.sqrt(delta_x_sq + delta_y_sq + delta_z_sq) return distance# Пример использованияif __name__ == '__main__': # Создаем два объекта-точки point_a = Point3D(1, 2, 3) point_b = Point3D(4, 6, 8) # Вычисляем расстояние dist = calculate_distance(point_a, point_b) # Выводим результат print(f"Координаты точки A: {point_a}") print(f"Координаты точки B: {point_b}") print(f"Расстояние между точками A и B: {dist:.4f}")

Ответ: Алгоритм заключается в вычислении квадратного корня из суммы квадратов разностей соответствующих координат двух точек по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$. Для представления точки в коде оптимально использовать класс. Подпрограмма, реализующая алгоритм, приведена выше.

3.

Для нахождения координат середины отрезка в трехмерном пространстве необходимо найти среднее арифметическое каждой из соответствующих координат его конечных точек.

Если отрезок задан двумя точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то координаты его середины $M(x_m, y_m, z_m)$ вычисляются по следующим формулам:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z_m = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ниже представлена программа на языке Python, которая находит координаты середины отрезка. В программе используется класс Point3D из предыдущего задания для представления точек.

# Используем класс Point3D из предыдущего заданияclass Point3D: def __init__(self, x, y, z): self.x = x self.y = y self.z = z def __str__(self): return f"({self.x}, {self.y}, {self.z})"# Программа (в виде функции) для нахождения середины отрезкаdef find_midpoint(p1, p2): "" Находит координаты середины отрезка, заданного двумя точками. :param p1: объект класса Point3D, начало отрезка :param p2: объект класса Point3D, конец отрезка :return: объект класса Point3D, середина отрезка "" mid_x = (p1.x + p2.x) / 2 mid_y = (p1.y + p2.y) / 2 mid_z = (p1.z + p2.z) / 2 return Point3D(mid_x, mid_y, mid_z)# Пример использованияif __name__ == '__main__': # Задаем координаты концов отрезка point_1 = Point3D(2, 4, 6) point_2 = Point3D(8, 10, 12) # Находим середину отрезка midpoint = find_midpoint(point_1, point_2) # Выводим результат print(f"Координаты начала отрезка: {point_1}") print(f"Координаты конца отрезка: {point_2}") print(f"Координаты середины отрезка: {midpoint}")

Эта программа определяет две точки, передает их в функцию find_midpoint, которая вычисляет и возвращает новый объект-точку с координатами середины отрезка.

Ответ: Программа для нахождения координат середины отрезка, использующая формулы $x_m = (x_1+x_2)/2$, $y_m = (y_1+y_2)/2$, $z_m = (z_1+z_2)/2$, приведена выше.

К § 2 «Векторы в пространстве»

1. Создайте набор подпрограмм для работы с векторами:

1) по координатам начала и конца вектора найти координаты вектора;

2) по координатам вектора найти модуль вектора;

3) по координатам двух векторов определить, коллинеарны ли эти векторы;

4) по координатам двух векторов определить, равны ли эти векторы. Определите, какие ещё подпрограммы будут полезны для работы с векторами, и добавьте их в этот набор.

2. Напишите программу для решения какой-либо задачи данного параграфа с использованием подпрограмм из этого набора.

1. Создайте набор подпрограмм для работы с векторами:

1) по координатам начала и конца вектора найти координаты вектора;

Пусть даны координаты точки начала вектора $A(x_1, y_1, z_1)$ и точки конца вектора $B(x_2, y_2, z_2)$. Координаты вектора $\vec{AB} = (v_x, v_y, v_z)$ вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Формулы для вычисления координат вектора:

$v_x = x_2 - x_1$

$v_y = y_2 - y_1$

$v_z = z_2 - z_1$

Таким образом, подпрограмма должна принимать на вход шесть чисел (координаты точек A и B) и возвращать три числа (координаты вектора $\vec{AB}$).

Ответ: Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2, z_2)$ равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

2) по координатам вектора найти модуль вектора;

Пусть дан вектор $\vec{v}$ с координатами $(v_x, v_y, v_z)$. Модуль (или длина) вектора $|\vec{v}|$ вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Это следует из теоремы Пифагора в трехмерном пространстве.

Формула для вычисления модуля вектора:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Подпрограмма принимает на вход три числа (координаты вектора) и возвращает одно число (модуль вектора).

Ответ: Модуль вектора $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ равен $\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$.

3) по координатам двух векторов определить, коллинеарны ли эти векторы;

Два ненулевых вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что $a_x = k \cdot b_x$, $a_y = k \cdot b_y$ и $a_z = k \cdot b_z$.

Проверку можно выполнить, сравнив отношения координат (избегая деления на ноль) или проверив, равно ли их векторное произведение нулевому вектору. Векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$ равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Координаты векторного произведения: $\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$.

Условие коллинеарности:

$a_y b_z - a_z b_y = 0$

$a_z b_x - a_x b_z = 0$

$a_x b_y - a_y b_x = 0$

Подпрограмма принимает на вход шесть чисел (координаты двух векторов) и возвращает логическое значение (истина, если коллинеарны, и ложь в противном случае). Необходимо также учесть случай, когда один из векторов — нулевой (нулевой вектор коллинеарен любому вектору).

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть все компоненты вектора $\vec{a} \times \vec{b}$ равны нулю.

4) по координатам двух векторов определить, равны ли эти векторы.

Два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ равны, если равны их соответствующие координаты.

Условие равенства:

$a_x = b_x$ и $a_y = b_y$ и $a_z = b_z$

Подпрограмма принимает на вход шесть чисел (координаты двух векторов) и возвращает логическое значение.

Ответ: Векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ равны, если $a_x = b_x$, $a_y = b_y$ и $a_z = b_z$.

Определите, какие ещё подпрограммы будут полезны для работы с векторами, и добавьте их в этот набор.

В набор полезно добавить следующие подпрограммы, реализующие базовые операции над векторами:

• Сложение векторов: для $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, их сумма $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$.
• Вычитание векторов: для $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их разность $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)$.
• Умножение вектора на скаляр: для вектора $\vec{a}$ и числа $k$, произведение $k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)$.
• Скалярное произведение векторов: для $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Результат — число. Эта операция полезна для нахождения угла между векторами и проверки их ортогональности.
• Векторное произведение векторов: для $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$. Результат — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам.

Ответ: Полезными будут подпрограммы для сложения и вычитания векторов, умножения вектора на скаляр, а также для вычисления скалярного и векторного произведений.

2. Напишите программу для решения какой-либо задачи данного параграфа с использованием подпрограмм из этого набора.

Задача: Вычислить площадь треугольника по заданным координатам его трех вершин в пространстве.

Решение с использованием подпрограмм:

Площадь треугольника, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, равна половине модуля их векторного произведения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Программа для решения этой задачи будет выполнять следующие шаги:

1. Запросить у пользователя координаты трех вершин треугольника: $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.
2. Используя подпрограмму (1), найти координаты векторов двух сторон треугольника, исходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
   $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$
   $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$
3. Используя подпрограмму для векторного произведения (добавленную в набор), вычислить вектор $\vec{p} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.
4. Используя подпрограмму (2), найти модуль (длину) полученного вектора $|\vec{p}|$.
5. Вычислить площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} |\vec{p}|$ и вывести результат.

Примерный псевдокод программы:

// Подключение набора подпрограмм для работы с векторами// Основная программа// 1. Ввод координат вершинВвести xA, yA, zAВвести xB, yB, zBВвести xC, yC, zC// 2. Вычисление координат векторов сторонвектор AB = найти_координаты_вектора(xA, yA, zA, xB, yB, zB)вектор AC = найти_координаты_вектора(xA, yA, zA, xC, yC, zC)// 3. Вычисление векторного произведениявектор p = векторное_произведение(AB, AC)// 4. Вычисление модуля векторамодуль_p = найти_модуль_вектора(p)// 5. Вычисление и вывод площадиплощадь = 0.5 * модуль_pВывести "Площадь треугольника:", площадь

Ответ: Программа для нахождения площади треугольника по координатам вершин $A, B, C$ последовательно использует подпрограммы: 1) нахождения координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$; 2) вычисления их векторного произведения $\vec{p} = \vec{AB} \times \vec{AC}$; 3) нахождения модуля вектора $|\vec{p}|$. Искомая площадь равна $S = 0.5 \cdot |\vec{p}|$.