Страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.131. На одной из сторон угла с вершиной в точке $M$ выбраны точки $A$ и $B$, а на другой стороне — точки $C$ и $D$ так, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

Данное утверждение является обратной теоремой о секущих (о степени точки). Для его доказательства воспользуемся методом подобия треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$.

1. Угол $\angle M$ является общим для этих двух треугольников.
2. Из условия задачи известно, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Преобразуем это равенство в пропорцию, разделив обе части на $MD \cdot MB$: $$ \frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB} $$

Таким образом, две стороны одного треугольника ($\triangle MAC$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\triangle MDB$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны (так как $\angle M$ — общий). Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, $\triangle MAC \sim \triangle MDB$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов:

Рассмотрим равенство $\angle MCA = \angle MBD$. В четырехугольнике $ABCD$ это те же углы, что $\angle ACD$ и $\angle ABD$.

Мы получили, что $\angle ACD = \angle ABD$. Эти два угла опираются на один и тот же отрезок $AD$. Поскольку точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$ (так как они находятся на разных сторонах угла с вершиной $M$), то согласно свойству вписанного четырехугольника (теорема, обратная теореме о вписанном угле), через точки $A, B, C, D$ можно провести окружность.

Следовательно, точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

22.132. Известно, что $M$ — точка пересечения отрезков $AB$ и $CD$, $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Докажите, что точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$. Углы $\angle AMC$ и $\angle DMB$ равны, так как они являются вертикальными.

По условию задачи известно, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Преобразуем это равенство в пропорцию, разделив обе его части на произведение $MD \cdot MB$ (это возможно, так как длины отрезков являются положительными числами):

$\frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB}$

Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$, у которых две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$ подобны.

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle MAC = \angle MDB$. Эти углы также можно записать как $\angle CAB$ и $\angle CDB$.

Углы $\angle CAB$ и $\angle CDB$ опираются на один и тот же отрезок $CB$ и их вершины ($A$ и $D$) лежат по одну сторону от прямой $CB$.

Согласно признаку вписанного четырёхугольника, если два угла, опирающиеся на один и тот же отрезок и расположенные по одну сторону от него, равны, то все четыре точки лежат на одной окружности.

Следовательно, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22.133. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $P$, принадлежащую отрезку $AB$, проведены хорда $KM$ первой окружности и хорда $LN$ второй окружности. Докажите, что точки $K, L, M$ и $N$ лежат на одной окружности.

Пусть даны две окружности $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $, которые пересекаются в точках A и B. Прямая AB является их общей хордой. Точка P принадлежит отрезку AB. Через точку P проведены хорда KM окружности $ \omega_1 $ и хорда LN окружности $ \omega_2 $.

Прямая, содержащая общую хорду двух пересекающихся окружностей, является их радикальной осью. Поскольку точка P лежит на отрезке AB, она находится на радикальной оси окружностей $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $. По определению, любая точка радикальной оси имеет одинаковую степень относительно обеих окружностей.

Степень точки P относительно окружности $ \omega_1 $ можно выразить через произведение отрезков хорды KM, проходящей через эту точку. Так как P — внутренняя точка, ее степень равна $ -KP \cdot PM $. Аналогично, степень точки P относительно окружности $ \omega_1 $ можно выразить через отрезки хорды AB: $ -AP \cdot PB $. Отсюда следует равенство:

$ KP \cdot PM = AP \cdot PB $

Точно так же, степень точки P относительно окружности $ \omega_2 $ выражается через произведение отрезков хорды LN, проходящей через P: $ -LP \cdot PN $. Также ее можно выразить через отрезки хорды AB: $ -AP \cdot PB $. Отсюда получаем:

$ LP \cdot PN = AP \cdot PB $

Приравнивая правые части двух полученных равенств, приходим к соотношению:

$ KP \cdot PM = LP \cdot PN $

Это равенство можно переписать в виде пропорции:

$ \frac{KP}{LP} = \frac{PN}{PM} $

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle KPN $ и $ \triangle LPM $.

1. Углы $ \angle KPN $ и $ \angle LPM $ равны как вертикальные.

2. Отношения сторон, прилежащих к этим углам, равны, как мы показали выше: $ \frac{KP}{LP} = \frac{PN}{PM} $.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $ \triangle KPN \sim \triangle LPM $.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов. В частности, угол, лежащий против стороны PN в $ \triangle KPN $, равен углу, лежащему против соответствующей стороны PM в $ \triangle LPM $:

$ \angle PKN = \angle PLM $

Также, угол, лежащий против стороны KP в $ \triangle KPN $, равен углу, лежащему против соответствующей стороны LP в $ \triangle LPM $:

$ \angle PNK = \angle PML $

Рассмотрим четырехугольник KLMN. Углы $ \angle KNL $ и $ \angle KML $ в этом четырехугольнике опираются на одну и ту же сторону KL. Из равенства $ \angle PNK = \angle PML $ следует, что $ \angle KNL = \angle KML $.

Поскольку точки N и M лежат по одну сторону от прямой KL и отрезок KL виден из этих точек под одинаковым углом, то по признаку вписанного четырехугольника точки K, L, M и N лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки K, L, M и N лежат на одной окружности.

22.134. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $P$, которая принадлежит прямой $AB$ (но не отрезку $AB$), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках $K$ и $L$, а вторую — в точках $M$ и $N$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием степени точки относительно окружности. Степенью точки P относительно окружности называется произведение $PA \cdot PB$ для любой секущей, проходящей через точку P и пересекающей окружность в точках A и B.

1. Рассмотрим первую окружность и точку P.

Точка P лежит на прямой AB. Через точку P проходят две секущие к первой окружности: одна пересекает её в точках A и B, а другая — в точках K и L. Согласно теореме о степени точки относительно окружности (или о произведении отрезков секущих), справедливо равенство:

$PK \cdot PL = PA \cdot PB$

2. Рассмотрим вторую окружность и точку P.

Аналогично, через точку P проходят две секущие ко второй окружности: одна пересекает её в точках A и B, а другая — в точках M и N. По той же теореме о степени точки относительно окружности, получаем:

$PM \cdot PN = PA \cdot PB$

3. Сделаем вывод.

Из двух полученных равенств следует, что левые части равны между собой:

$PK \cdot PL = PM \cdot PN$

Это равенство является признаком того, что четыре точки K, L, M и N лежат на одной окружности. Согласно теореме, обратной теореме о степени точки (или о произведении отрезков пересекающихся хорд/секущих), если две прямые KL и MN пересекаются в точке P и выполняется данное равенство, то точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Точки K, L, M и N лежат на одной окружности.

22.135. В окружности, радиус которой равен $R$, проведены две хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются под прямым углом. Докажите, что $AC^2 + BD^2 = 4R^2$.

Пусть дана окружность радиуса $R$. Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются под прямым углом.

Для доказательства используем дополнительное построение. Проведем из точки $A$ диаметр $AA'$. Его длина составляет $AA' = 2R$. Соединим точку $A'$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольник $ACA'$. Угол $\angle ACA'$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AA'$. Следовательно, этот угол прямой: $\angle ACA' = 90^\circ$.

Треугольник $ACA'$ является прямоугольным. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

$AC^2 + (A'C)^2 = (AA')^2$

Подставляя значение длины диаметра $AA' = 2R$, получаем:

$AC^2 + (A'C)^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Теперь докажем, что длина хорды $A'C$ равна длине хорды $BD$. Для этого соединим точку $A'$ с точкой $B$.

Рассмотрим вписанный угол $\angle ABA'$. Он также опирается на диаметр $AA'$, а значит, является прямым: $\angle ABA' = 90^\circ$. Это означает, что хорда $A'B$ перпендикулярна хорде $AB$ ($A'B \perp AB$).

По условию задачи, хорды $CD$ и $AB$ также перпендикулярны ($CD \perp AB$).

Поскольку две прямые ($A'B$ и $CD$) перпендикулярны одной и той же прямой ($AB$), они параллельны друг другу: $A'B \parallel CD$.

Согласно свойству окружности, дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. В нашем случае это означает, что дуга $A'C$ равна дуге $BD$: $\cup A'C = \cup BD$.

Так как хорды стягивают равные дуги, то их длины также равны: $A'C = BD$.

Теперь вернемся к равенству, полученному из теоремы Пифагора, и заменим в нем $A'C$ на равную ей хорду $BD$:

$AC^2 + BD^2 = 4R^2$

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Утверждение доказано.

22.136. На диаметре $AB$ окружности с центром $O$ отметили точки $M$ и $N$ так, что $MO = ON$. Пусть $X$ — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма $XM^2 + XN^2$ не зависит от выбора точки $X$.

Пусть R — радиус данной окружности. Рассмотрим треугольник $\triangle XMN$. По условию, точки M и N расположены на диаметре AB так, что $MO = ON$. Это означает, что центр окружности O является серединой отрезка MN. Следовательно, отрезок XO является медианой треугольника $\triangle XMN$, проведенной из вершины X к стороне MN.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника (также известной как теорема Аполлония). Согласно этой теореме, сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадрата медианы, проведенной к третьей стороне, и квадрата половины этой третьей стороны. Применительно к $\triangle XMN$ и медиане XO, формула имеет вид:

$XM^2 + XN^2 = 2(XO^2 + MO^2)$

Проанализируем величины, входящие в правую часть этого равенства. Длина отрезка $XO$ — это расстояние от центра окружности O до точки X, находящейся на этой окружности, то есть радиус R. Величина R постоянна для данной окружности ($XO^2 = R^2$). Длина отрезка $MO$ также является постоянной величиной, так как положение точки M зафиксировано.

Таким образом, выражение $2(R^2 + MO^2)$ является константой, поскольку оно зависит только от радиуса окружности R и расстояния MO, которые не изменяются при выборе точки X на окружности.

Следовательно, сумма $XM^2 + XN^2$ также является постоянной величиной и не зависит от выбора точки X. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма $XM^2 + XN^2$ не зависит от выбора точки X. Она является постоянной и равна $2(R^2 + MO^2)$, где R — радиус окружности.

22.137. Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

Пусть даны две концентрические окружности с общим центром в точке $O$ и радиусами $R_1$ и $R_2$.

Выберем произвольную точку $M$ на одной из окружностей, например, на той, что имеет радиус $R_1$. Тогда расстояние от точки $M$ до центра $O$ будет постоянным и равным радиусу этой окружности: $OM = R_1$.

Выберем произвольный диаметр $AB$ другой окружности, имеющей радиус $R_2$. Точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности, а их общий центр $O$ является серединой отрезка $AB$. Расстояния от концов диаметра до центра равны радиусу: $OA = OB = R_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Отрезок $OM$ соединяет вершину $M$ с серединой противолежащей стороны $AB$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle AMB$, проведенной к стороне $AB$.

Воспользуемся теоремой о медиане (также известной как теорема Аполлония), которая гласит, что сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадрата медианы, проведенной к третьей стороне, и квадрата половины этой третьей стороны. Для треугольника $\triangle AMB$ и медианы $OM$ формула имеет вид:
$MA^2 + MB^2 = 2(OM^2 + OA^2)$

Теперь подставим в эту формулу известные нам длины отрезков $OM$ и $OA$:
$MA^2 + MB^2 = 2(R_1^2 + R_2^2)$

Полученное выражение $2(R_1^2 + R_2^2)$ зависит только от радиусов данных окружностей $R_1$ и $R_2$, которые являются постоянными величинами. Следовательно, искомая сумма квадратов расстояний не зависит ни от выбора точки $M$ на первой окружности, ни от выбора диаметра $AB$ на второй окружности.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма квадратов расстояний равна $2(R_1^2 + R_2^2)$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы окружностей. Эта величина является константой и не зависит от выбора точки или диаметра.

22.138. Вершинами треугольника являются точки $A (-3; 1)$, $B (2; -2)$ и $C (-4; 6)$. Найдите медиану $AM$ треугольника $ABC$.

Медиана треугольника, проведенная из вершины, соединяет эту вершину с серединой противоположной стороны. В данном случае медиана AM соединяет вершину A с точкой M, которая является серединой стороны BC.

1. Нахождение координат середины стороны BC (точка M)

Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Для точек B(2; -2) и C(-4; 6) координаты середины M($x_M$; $y_M$) вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим координаты точек B и C:

$x_M = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, точка M имеет координаты (-1; 2).

2. Нахождение длины медианы AM

Длина медианы AM — это расстояние между точками A(-3; 1) и M(-1; 2). Расстояние $d$ между двумя точками с координатами ($x_1$; $y_1$) и ($x_2$; $y_2$) вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек A и M в эту формулу:

$AM = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (2 - 1)^2}$

$AM = \sqrt{(-1 + 3)^2 + (1)^2}$

$AM = \sqrt{2^2 + 1^2}$

$AM = \sqrt{4 + 1}$

$AM = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

22.139. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $B (4; 1)$, $C (-1; 1)$, $D (-2; -2)$. Найдите координаты вершины $A$.

Для решения задачи воспользуемся одним из свойств параллелограмма: его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $A$ будут $(x; y)$.

Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.

1. Найдём координаты середины диагонали $BD$. Обозначим эту точку как $M$.
Даны точки $B(4; 1)$ и $D(-2; -2)$.
Координата $x$ точки $M$: $x_M = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Координата $y$ точки $M$: $y_M = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, середина диагонали $BD$ имеет координаты $M(1; -0.5)$.

2. Теперь запишем выражения для координат середины диагонали $AC$, используя неизвестные координаты точки $A(x; y)$ и известные координаты точки $C(-1; 1)$. Середина $AC$ — это та же точка $M$.
Координата $x$ точки $M$: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{x + (-1)}{2} = \frac{x - 1}{2}$.
Координата $y$ точки $M$: $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{y + 1}{2}$.

3. Поскольку точка $M$ является серединой обеих диагоналей, мы можем приравнять соответствующие координаты, найденные в шагах 1 и 2, и решить полученные уравнения.
Для координаты $x$: $\frac{x - 1}{2} = 1$.
$x - 1 = 2$
$x = 3$.

Для координаты $y$: $\frac{y + 1}{2} = -\frac{1}{2}$.
$y + 1 = -1$
$y = -2$.

Следовательно, координаты вершины $A$ равны $(3; -2)$.

Ответ: (3; -2)

22.140. Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек $C(3; 2)$ и $D(1; -6)$.

Пусть искомая точка A имеет координаты $(x; y)$.

По условию, точка A принадлежит оси ординат. Это означает, что ее координата по оси абсцисс равна нулю, то есть $x = 0$. Таким образом, координаты точки A можно записать как $(0; y)$.

Также по условию точка A равноудалена от точек $C(3; 2)$ и $D(1; -6)$. Это означает, что расстояние от A до C равно расстоянию от A до D: $AC = AD$.

Удобнее работать с квадратами расстояний, так как это избавляет от квадратных корней: $AC^2 = AD^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $AC^2$ между точками $A(0; y)$ и $C(3; 2)$:

$AC^2 = (3 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 3^2 + (2 - y)^2 = 9 + 4 - 4y + y^2 = 13 - 4y + y^2$.

Найдем квадрат расстояния $AD^2$ между точками $A(0; y)$ и $D(1; -6)$:

$AD^2 = (1 - 0)^2 + (-6 - y)^2 = 1^2 + (-(6+y))^2 = 1 + (6+y)^2 = 1 + 36 + 12y + y^2 = 37 + 12y + y^2$.

Теперь приравняем полученные выражения для $AC^2$ и $AD^2$:

$13 - 4y + y^2 = 37 + 12y + y^2$

Перенесем члены с $y$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Члены $y^2$ взаимно уничтожаются.

$13 - 37 = 12y + 4y$

$-24 = 16y$

$y = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Таким образом, искомая точка A имеет координаты $(0; -1.5)$.

Ответ: $(0; -1.5)$

22.141. Найдите координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от точек A (-1; 5) и B (7; -3).

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$. Поскольку точка $C$ принадлежит оси абсцисс (оси $Ox$), ее ордината равна нулю, то есть $y = 0$. Таким образом, координаты точки $C$ имеют вид $(x; 0)$.

По условию задачи, точка $C$ равноудалена от точек $A(-1; 5)$ и $B(7; -3)$. Это означает, что расстояние от $C$ до $A$ равно расстоянию от $C$ до $B$, то есть $AC = BC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $AC^2 = BC^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $AC^2$ между точками $A(-1; 5)$ и $C(x; 0)$: $AC^2 = (x - (-1))^2 + (0 - 5)^2 = (x + 1)^2 + (-5)^2 = x^2 + 2x + 1 + 25 = x^2 + 2x + 26$.

Найдем квадрат расстояния $BC^2$ между точками $B(7; -3)$ и $C(x; 0)$: $BC^2 = (x - 7)^2 + (0 - (-3))^2 = (x - 7)^2 + 3^2 = x^2 - 14x + 49 + 9 = x^2 - 14x + 58$.

Теперь приравняем выражения для $AC^2$ и $BC^2$ и решим полученное уравнение относительно $x$: $x^2 + 2x + 26 = x^2 - 14x + 58$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения: $2x + 26 = -14x + 58$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $2x + 14x = 58 - 26$ $16x = 32$

Найдем $x$: $x = \frac{32}{16}$ $x = 2$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 2. Так как точка лежит на оси абсцисс, ее ордината равна 0. Координаты искомой точки — $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$.

22.142. Окружность задана уравнением $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 12$. Как расположена точка $A (-2; 3)$ относительно этой окружности?

Для того чтобы определить, как расположена точка $A(-2; 3)$ относительно окружности, заданной уравнением $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 12$, нужно подставить координаты этой точки в левую часть уравнения и сравнить полученный результат с правой частью.

Правая часть уравнения представляет собой квадрат радиуса окружности: $R^2 = 12$.

Подставим координаты точки $A(x_A = -2, y_A = 3)$ в левую часть уравнения:

$(x_A+4)^2 + (y_A-1)^2 = (-2+4)^2 + (3-1)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Теперь сравним полученное значение с квадратом радиуса:

$8 < 12$

Существуют три возможных случая:

• Если бы результат был меньше $R^2$, точка лежит внутри окружности.
• Если бы результат был равен $R^2$, точка лежит на окружности.
• Если бы результат был больше $R^2$, точка лежит вне окружности.

Поскольку $8 < 12$, это означает, что квадрат расстояния от центра окружности до точки A меньше квадрата радиуса. Следовательно, сама точка A расположена внутри окружности.

Ответ: Точка A(-2; 3) расположена внутри окружности.

22.143. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $MK$, если $M (-3; 4)$, $K (5; 10)$.

Уравнение окружности в общем виде записывается как $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

1. Нахождение центра окружности.

По условию, отрезок МК является диаметром окружности. Центр окружности является серединой её диаметра. Найдем координаты центра C, который является серединой отрезка МК с концами в точках М(-3; 4) и K(5; 10), по формулам координат середины отрезка:

$a = \frac{x_M + x_K}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$b = \frac{y_M + y_K}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Таким образом, центр окружности находится в точке C(1; 7).

2. Нахождение радиуса окружности.

Радиус окружности $r$ равен половине длины диаметра МК. Сначала найдем длину диаметра (расстояние между точками М и K) по формуле:

$d = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2}$

$d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (10 - 4)^2} = \sqrt{(5 + 3)^2 + 6^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

Длина диаметра равна 10. Тогда радиус равен:

$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. Составление уравнения окружности.

Подставим найденные координаты центра C(1; 7) и радиус $r = 5$ в общее уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 5^2$

$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$