Номер 22.135, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.135. В окружности, радиус которой равен $R$, проведены две хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются под прямым углом. Докажите, что $AC^2 + BD^2 = 4R^2$.

Пусть дана окружность радиуса $R$. Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются под прямым углом.

Для доказательства используем дополнительное построение. Проведем из точки $A$ диаметр $AA'$. Его длина составляет $AA' = 2R$. Соединим точку $A'$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольник $ACA'$. Угол $\angle ACA'$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AA'$. Следовательно, этот угол прямой: $\angle ACA' = 90^\circ$.

Треугольник $ACA'$ является прямоугольным. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

$AC^2 + (A'C)^2 = (AA')^2$

Подставляя значение длины диаметра $AA' = 2R$, получаем:

$AC^2 + (A'C)^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Теперь докажем, что длина хорды $A'C$ равна длине хорды $BD$. Для этого соединим точку $A'$ с точкой $B$.

Рассмотрим вписанный угол $\angle ABA'$. Он также опирается на диаметр $AA'$, а значит, является прямым: $\angle ABA' = 90^\circ$. Это означает, что хорда $A'B$ перпендикулярна хорде $AB$ ($A'B \perp AB$).

По условию задачи, хорды $CD$ и $AB$ также перпендикулярны ($CD \perp AB$).

Поскольку две прямые ($A'B$ и $CD$) перпендикулярны одной и той же прямой ($AB$), они параллельны друг другу: $A'B \parallel CD$.

Согласно свойству окружности, дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. В нашем случае это означает, что дуга $A'C$ равна дуге $BD$: $\cup A'C = \cup BD$.

Так как хорды стягивают равные дуги, то их длины также равны: $A'C = BD$.

Теперь вернемся к равенству, полученному из теоремы Пифагора, и заменим в нем $A'C$ на равную ей хорду $BD$:

$AC^2 + BD^2 = 4R^2$

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Утверждение доказано.