Номер 22.137, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.137. Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

Пусть даны две концентрические окружности с общим центром в точке $O$ и радиусами $R_1$ и $R_2$.

Выберем произвольную точку $M$ на одной из окружностей, например, на той, что имеет радиус $R_1$. Тогда расстояние от точки $M$ до центра $O$ будет постоянным и равным радиусу этой окружности: $OM = R_1$.

Выберем произвольный диаметр $AB$ другой окружности, имеющей радиус $R_2$. Точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности, а их общий центр $O$ является серединой отрезка $AB$. Расстояния от концов диаметра до центра равны радиусу: $OA = OB = R_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Отрезок $OM$ соединяет вершину $M$ с серединой противолежащей стороны $AB$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle AMB$, проведенной к стороне $AB$.

Воспользуемся теоремой о медиане (также известной как теорема Аполлония), которая гласит, что сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадрата медианы, проведенной к третьей стороне, и квадрата половины этой третьей стороны. Для треугольника $\triangle AMB$ и медианы $OM$ формула имеет вид:
$MA^2 + MB^2 = 2(OM^2 + OA^2)$

Теперь подставим в эту формулу известные нам длины отрезков $OM$ и $OA$:
$MA^2 + MB^2 = 2(R_1^2 + R_2^2)$

Полученное выражение $2(R_1^2 + R_2^2)$ зависит только от радиусов данных окружностей $R_1$ и $R_2$, которые являются постоянными величинами. Следовательно, искомая сумма квадратов расстояний не зависит ни от выбора точки $M$ на первой окружности, ни от выбора диаметра $AB$ на второй окружности.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма квадратов расстояний равна $2(R_1^2 + R_2^2)$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы окружностей. Эта величина является константой и не зависит от выбора точки или диаметра.