Номер 22.130, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.130. В окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $M$. Докажите, что прямая, содержащая высоту $MK$ треугольника $DMB$, также содержит медиану треугольника $CMA$.

Пусть в окружности даны две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Таким образом, $\angle CMA = \angle DMB = 90^\circ$. Пусть $MK$ — высота треугольника $DMB$, проведенная к стороне $DB$. Это означает, что $MK \perp DB$. Нам нужно доказать, что прямая, проходящая через точки $M$ и $K$, содержит медиану треугольника $CMA$.

Рассмотрим треугольник $CMA$. Так как хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны, то треугольник $CMA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. Пусть $N$ — середина гипотенузы $AC$. Тогда отрезок $MN$ является медианой треугольника $CMA$. Чтобы доказать утверждение задачи, мы докажем, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Для этого мы покажем, что прямая, содержащая медиану $MN$, перпендикулярна стороне $DB$.

В прямоугольном треугольнике $CMA$ медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $MN = NC$. Поскольку $MN = NC$, треугольник $MNC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle NMC = \angle NCM$.

Угол $\angle NCM$ является вписанным в окружность углом $\angle ACD$, который опирается на дугу $AD$. Вписанный угол $\angle ABD$ также опирается на дугу $AD$. Следовательно, по свойству вписанных углов, $\angle ACD = \angle ABD$. Из этого следует, что $\angle NMC = \angle ABD$.

Пусть прямая $MN$ пересекает хорду $DB$ в точке $K'$. Углы $\angle NMC$ и $\angle DMK'$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle DMK' = \angle NMC$. Сопоставляя полученные равенства, имеем: $\angle DMK' = \angle ABD$. Поскольку точки $A, M, B$ лежат на одной прямой, то $\angle ABD$ — это тот же угол, что и $\angle MBD$. Таким образом, $\angle DMK' = \angle MBD$.

Рассмотрим треугольник $DMB$. Он является прямоугольным, так как $\angle DMB = 90^\circ$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$: $\angle MDB + \angle MBD = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим углы в треугольнике $DMK'$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$: $\angle K'DM + \angle DMK' + \angle DK'M = 180^\circ$. Заменяя $\angle K'DM$ на $\angle MDB$ и $\angle DMK'$ на $\angle MBD$ (что мы доказали ранее), получаем: $\angle MDB + \angle MBD + \angle DK'M = 180^\circ$.

Так как мы знаем, что $\angle MDB + \angle MBD = 90^\circ$, подставляем это значение в уравнение: $90^\circ + \angle DK'M = 180^\circ$. Отсюда находим, что $\angle DK'M = 90^\circ$.

Это означает, что прямая $MN$ (проходящая через точку $K'$) перпендикулярна хорде $DB$. По определению, высота треугольника $DMB$ из вершины $M$ — это перпендикуляр, опущенный на сторону $DB$. По условию, $MK$ является этой высотой. Следовательно, прямая $MN$ совпадает с прямой $MK$, и точки $K, M, N$ лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что прямая, содержащая высоту $MK$ треугольника $DMB$, также содержит медиану $MN$ треугольника $CMA$.

Ответ: Что и требовалось доказать.