Номер 22.127, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.127. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $B$ проведена секущая, пересекающая окружности в точках $C$ и $D$. Докажите, что величина угла $CAD$ является постоянной для любой секущей, проходящей через точку $B$. (Рассмотрите случаи расположения точек $C$ и $D$ в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой $AB$.)

Пусть две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекаются в точках $A$ и $B$. Проведем через точку $B$ секущую, которая пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (отличной от $B$) и окружность $\omega_2$ в точке $D$ (отличной от $B$). Мы должны доказать, что величина угла $\angle CAD$ не зависит от выбора этой секущей.

Ключевым свойством, которое мы будем использовать, является то, что вписанный угол, опирающийся на одну и ту же хорду, постоянен для всех точек, лежащих на одной и той же дуге окружности. В нашем случае хорда $AB$ является общей для обеих окружностей.

Обозначим величину вписанного угла, опирающегося на хорду $AB$ в окружности $\omega_1$, как $\gamma_1$. То есть, $\angle ACB = \gamma_1$ (для точек $C$ на одной из дуг $AB$). Аналогично, для окружности $\omega_2$ обозначим величину вписанного угла $\angle ADB$ как $\gamma_2$. Величины $\gamma_1$ и $\gamma_2$ зависят только от самих окружностей и положения точек $A$ и $B$, но не от положения секущей.

Рассмотрим два случая, указанных в условии задачи.

Расположение точек C и D в различных полуплоскостях относительно прямой AB

Если точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$, это означает, что точка $B$ находится между точками $C$ и $D$ на секущей.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ $

Угол $\angle ACD$ треугольника $\triangle ACD$ — это вписанный угол $\angle ACB$ окружности $\omega_1$. Он опирается на хорду $AB$, и его величина постоянна: $\angle ACD = \angle ACB = \gamma_1$.

Аналогично, угол $\angle ADC$ треугольника $\triangle ACD$ — это вписанный угол $\angle ADB$ окружности $\omega_2$. Он также опирается на хорду $AB$, и его величина постоянна: $\angle ADC = \angle ADB = \gamma_2$.

Подставим эти постоянные значения в формулу суммы углов треугольника: $ \angle CAD + \gamma_1 + \gamma_2 = 180^\circ $

Отсюда выражаем искомый угол: $ \angle CAD = 180^\circ - (\gamma_1 + \gamma_2) $

Поскольку $\gamma_1$ и $\gamma_2$ являются постоянными величинами, не зависящими от выбора секущей, то и угол $\angle CAD$ в этом случае является постоянной величиной.

Ответ: Доказано, что в данном случае величина угла $\angle CAD$ постоянна.

Расположение точек C и D в одной полуплоскости относительно прямой AB

Если точки $C$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, это означает, что точка $B$ не находится между точками $C$ и $D$. Без ограничения общности, пусть точки на секущей расположены в порядке $B-C-D$. Случай с порядком $B-D-C$ рассматривается аналогично.

Рассмотрим снова треугольник $\triangle ACD$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ $

Угол $\angle ADC$ треугольника $\triangle ACD$ совпадает с вписанным углом $\angle ADB$ окружности $\omega_2$, который опирается на хорду $AB$. Его величина постоянна: $\angle ADC = \angle ADB = \gamma_2$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ACD$. Поскольку точки $B, C, D$ лежат на одной прямой, угол $\angle ACB$ (вписанный в окружность $\omega_1$, опирающийся на хорду $AB$, величиной $\gamma_1$) и угол $\angle ACD$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $ \angle ACD + \angle ACB = 180^\circ $ $ \angle ACD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \gamma_1 $

Подставим выражения для углов $\angle ACD$ и $\angle ADC$ в формулу суммы углов треугольника $\triangle ACD$: $ \angle CAD + (180^\circ - \gamma_1) + \gamma_2 = 180^\circ $

Упростим выражение: $ \angle CAD - \gamma_1 + \gamma_2 = 0 $ $ \angle CAD = \gamma_1 - \gamma_2 $

Величина угла $\angle CAD$ равна модулю разности постоянных величин $|\gamma_1 - \gamma_2|$ и, следовательно, также является постоянной.

Ответ: Доказано, что и в этом случае величина угла $\angle CAD$ постоянна.