Номер 22.128, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.128. К двум окружностям, которые пересекаются в точках $M$ и $K$, проведена общая касательная, $A$ и $B$ — точки касания. Докажите, что $\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$.

Для доказательства воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, а также равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Пусть дана первая окружность, проходящая через точки A, M и K. Прямая AB является касательной к этой окружности в точке A. Хорда AM проведена из точки касания. Согласно теореме, угол между касательной AB и хордой AM равен вписанному углу, опирающемуся на дугу AM. Таким углом является угол $∠AKM$. Следовательно:

$∠MAB = ∠AKM$ (1)

Теперь рассмотрим вторую окружность, проходящую через точки B, M и K. Прямая AB является касательной к этой окружности в точке B. Хорда BM проведена из точки касания. По той же теореме, угол между касательной AB и хордой BM равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BM. Таким углом является угол $∠BKM$. Следовательно:

$∠MBA = ∠BKM$ (2)

Рассмотрим треугольник $ΔAMB$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$:

$∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180°$

Подставим в это равенство выражения для $∠MAB$ и $∠MBA$ из уравнений (1) и (2):

$∠AMB + ∠AKM + ∠BKM = 180°$

Поскольку точка M находится по одну сторону от прямой AB, а точка K - по другую (если окружности пересекаются), или обе точки находятся по одну сторону от AB, луч KM будет проходить между лучами KA и KB. Это означает, что угол $∠AKB$ является суммой углов $∠AKM$ и $∠BKM$:

$∠AKB = ∠AKM + ∠BKM$

Заменяя сумму $∠AKM + ∠BKM$ на $∠AKB$ в предыдущем уравнении, получаем:

$∠AMB + ∠AKB = 180°$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $∠AMB + ∠AKB = 180°$.