Номер 22.131, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.131. На одной из сторон угла с вершиной в точке $M$ выбраны точки $A$ и $B$, а на другой стороне — точки $C$ и $D$ так, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

Данное утверждение является обратной теоремой о секущих (о степени точки). Для его доказательства воспользуемся методом подобия треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$.

1. Угол $\angle M$ является общим для этих двух треугольников.
2. Из условия задачи известно, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Преобразуем это равенство в пропорцию, разделив обе части на $MD \cdot MB$: $$ \frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB} $$

Таким образом, две стороны одного треугольника ($\triangle MAC$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\triangle MDB$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны (так как $\angle M$ — общий). Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, $\triangle MAC \sim \triangle MDB$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов:

Рассмотрим равенство $\angle MCA = \angle MBD$. В четырехугольнике $ABCD$ это те же углы, что $\angle ACD$ и $\angle ABD$.

Мы получили, что $\angle ACD = \angle ABD$. Эти два угла опираются на один и тот же отрезок $AD$. Поскольку точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$ (так как они находятся на разных сторонах угла с вершиной $M$), то согласно свойству вписанного четырехугольника (теорема, обратная теореме о вписанном угле), через точки $A, B, C, D$ можно провести окружность.

Следовательно, точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат одной окружности.