Номер 22.136, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.136. На диаметре $AB$ окружности с центром $O$ отметили точки $M$ и $N$ так, что $MO = ON$. Пусть $X$ — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма $XM^2 + XN^2$ не зависит от выбора точки $X$.

Пусть R — радиус данной окружности. Рассмотрим треугольник $\triangle XMN$. По условию, точки M и N расположены на диаметре AB так, что $MO = ON$. Это означает, что центр окружности O является серединой отрезка MN. Следовательно, отрезок XO является медианой треугольника $\triangle XMN$, проведенной из вершины X к стороне MN.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника (также известной как теорема Аполлония). Согласно этой теореме, сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадрата медианы, проведенной к третьей стороне, и квадрата половины этой третьей стороны. Применительно к $\triangle XMN$ и медиане XO, формула имеет вид:

$XM^2 + XN^2 = 2(XO^2 + MO^2)$

Проанализируем величины, входящие в правую часть этого равенства. Длина отрезка $XO$ — это расстояние от центра окружности O до точки X, находящейся на этой окружности, то есть радиус R. Величина R постоянна для данной окружности ($XO^2 = R^2$). Длина отрезка $MO$ также является постоянной величиной, так как положение точки M зафиксировано.

Таким образом, выражение $2(R^2 + MO^2)$ является константой, поскольку оно зависит только от радиуса окружности R и расстояния MO, которые не изменяются при выборе точки X на окружности.

Следовательно, сумма $XM^2 + XN^2$ также является постоянной величиной и не зависит от выбора точки X. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма $XM^2 + XN^2$ не зависит от выбора точки X. Она является постоянной и равна $2(R^2 + MO^2)$, где R — радиус окружности.