Номер 22.134, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.134. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $P$, которая принадлежит прямой $AB$ (но не отрезку $AB$), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках $K$ и $L$, а вторую — в точках $M$ и $N$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием степени точки относительно окружности. Степенью точки P относительно окружности называется произведение $PA \cdot PB$ для любой секущей, проходящей через точку P и пересекающей окружность в точках A и B.

1. Рассмотрим первую окружность и точку P.

Точка P лежит на прямой AB. Через точку P проходят две секущие к первой окружности: одна пересекает её в точках A и B, а другая — в точках K и L. Согласно теореме о степени точки относительно окружности (или о произведении отрезков секущих), справедливо равенство:

$PK \cdot PL = PA \cdot PB$

2. Рассмотрим вторую окружность и точку P.

Аналогично, через точку P проходят две секущие ко второй окружности: одна пересекает её в точках A и B, а другая — в точках M и N. По той же теореме о степени точки относительно окружности, получаем:

$PM \cdot PN = PA \cdot PB$

3. Сделаем вывод.

Из двух полученных равенств следует, что левые части равны между собой:

$PK \cdot PL = PM \cdot PN$

Это равенство является признаком того, что четыре точки K, L, M и N лежат на одной окружности. Согласно теореме, обратной теореме о степени точки (или о произведении отрезков пересекающихся хорд/секущих), если две прямые KL и MN пересекаются в точке P и выполняется данное равенство, то точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Точки K, L, M и N лежат на одной окружности.