Номер 22.133, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.133. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $P$, принадлежащую отрезку $AB$, проведены хорда $KM$ первой окружности и хорда $LN$ второй окружности. Докажите, что точки $K, L, M$ и $N$ лежат на одной окружности.

Пусть даны две окружности $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $, которые пересекаются в точках A и B. Прямая AB является их общей хордой. Точка P принадлежит отрезку AB. Через точку P проведены хорда KM окружности $ \omega_1 $ и хорда LN окружности $ \omega_2 $.

Прямая, содержащая общую хорду двух пересекающихся окружностей, является их радикальной осью. Поскольку точка P лежит на отрезке AB, она находится на радикальной оси окружностей $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $. По определению, любая точка радикальной оси имеет одинаковую степень относительно обеих окружностей.

Степень точки P относительно окружности $ \omega_1 $ можно выразить через произведение отрезков хорды KM, проходящей через эту точку. Так как P — внутренняя точка, ее степень равна $ -KP \cdot PM $. Аналогично, степень точки P относительно окружности $ \omega_1 $ можно выразить через отрезки хорды AB: $ -AP \cdot PB $. Отсюда следует равенство:

$ KP \cdot PM = AP \cdot PB $

Точно так же, степень точки P относительно окружности $ \omega_2 $ выражается через произведение отрезков хорды LN, проходящей через P: $ -LP \cdot PN $. Также ее можно выразить через отрезки хорды AB: $ -AP \cdot PB $. Отсюда получаем:

$ LP \cdot PN = AP \cdot PB $

Приравнивая правые части двух полученных равенств, приходим к соотношению:

$ KP \cdot PM = LP \cdot PN $

Это равенство можно переписать в виде пропорции:

$ \frac{KP}{LP} = \frac{PN}{PM} $

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle KPN $ и $ \triangle LPM $.

1. Углы $ \angle KPN $ и $ \angle LPM $ равны как вертикальные.

2. Отношения сторон, прилежащих к этим углам, равны, как мы показали выше: $ \frac{KP}{LP} = \frac{PN}{PM} $.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $ \triangle KPN \sim \triangle LPM $.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов. В частности, угол, лежащий против стороны PN в $ \triangle KPN $, равен углу, лежащему против соответствующей стороны PM в $ \triangle LPM $:

$ \angle PKN = \angle PLM $

Также, угол, лежащий против стороны KP в $ \triangle KPN $, равен углу, лежащему против соответствующей стороны LP в $ \triangle LPM $:

$ \angle PNK = \angle PML $

Рассмотрим четырехугольник KLMN. Углы $ \angle KNL $ и $ \angle KML $ в этом четырехугольнике опираются на одну и ту же сторону KL. Из равенства $ \angle PNK = \angle PML $ следует, что $ \angle KNL = \angle KML $.

Поскольку точки N и M лежат по одну сторону от прямой KL и отрезок KL виден из этих точек под одинаковым углом, то по признаку вписанного четырехугольника точки K, L, M и N лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки K, L, M и N лежат на одной окружности.