Номер 22.126, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.126. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Проведены диаметры $AD$ и $AC$ этих окружностей. Докажите, что точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой $AB$.)

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры этих окружностей соответственно. По условию, $AD$ — диаметр окружности $\omega_1$, а $AC$ — диаметр окружности $\omega_2$. Необходимо доказать, что точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Соединим точку $B$ с точками $A$, $C$ и $D$.

Рассмотрим угол $\angle ABD$. Он вписан в окружность $\omega_1$ и опирается на ее диаметр $AD$. По свойству угла, опирающегося на диаметр, он является прямым. Следовательно, $\angle ABD = 90^{\circ}$. Это означает, что прямая $DB$ перпендикулярна прямой $AB$.

Аналогично, рассмотрим угол $\angle ABC$. Он вписан в окружность $\omega_2$ и опирается на ее диаметр $AC$. Следовательно, $\angle ABC = 90^{\circ}$. Это означает, что прямая $CB$ перпендикулярна прямой $AB$.

Далее рассмотрим два случая, указанные в условии задачи.

Случай расположения центров окружностей в различных полуплоскостях относительно прямой AB.

Если центры окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$, то и точки $D$ и $C$ (как точки, диаметрально противоположные точке $A$) также будут лежать в разных полуплоскостях. В этом случае луч $BA$ проходит между лучами $BC$ и $BD$.

Тогда угол $\angle CBD$ является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle ABD$.

$\angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Угол, равный $180^{\circ}$, является развернутым, а это означает, что точки $C$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Случай расположения центров окружностей в одной полуплоскости относительно прямой AB.

Если центры окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, то и точки $D$ и $C$ также будут лежать в той же полуплоскости.

Мы установили, что прямая $CB \perp AB$ и прямая $DB \perp AB$. Обе эти прямые проходят через одну и ту же точку $B$.

Поскольку точки $C$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, лучи $BC$ и $BD$ также лежат в одной полуплоскости. Известно, что из данной точки на прямой можно провести только один перпендикуляр в данной полуплоскости. Следовательно, лучи $BC$ и $BD$ должны совпадать.

Если лучи совпадают, то точки $C$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.