Номер 22.123, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.123. В угол, величина которого составляет 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Найдите радиус большей из них, если радиус меньшей равен 6 см.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$, равный $60^\circ$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшей и большей окружностей, а $r$ и $R$ — их радиусы соответственно. По условию, радиус меньшей окружности $r = 6$ см. Требуется найти радиус большей окружности $R$.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. Следовательно, точки $A$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла $A$. Эта биссектриса делит исходный угол $60^\circ$ на два равных угла по $30^\circ$.

Проведем из центров $O_1$ и $O_2$ перпендикуляры к одной из сторон угла. Пусть $T_1$ и $T_2$ — это точки касания меньшей и большей окружностей со стороной угла. Таким образом, отрезки $O_1T_1$ и $O_2T_2$ являются радиусами, перпендикулярными стороне угла. Мы получаем два прямоугольных треугольника: $\triangle AO_1T_1$ и $\triangle AO_2T_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1T_1$. В нем:
- $\angle T_1AO_1 = 30^\circ$ (так как $AO_1$ — биссектриса).
- Катет $O_1T_1 = r = 6$ см.
Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle T_1AO_1) = \frac{O_1T_1}{AO_1}$
$\sin(30^\circ) = \frac{r}{AO_1}$
Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{AO_1}$
Отсюда находим расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности:
$AO_1 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AO_2T_2$:
$\sin(\angle T_2AO_2) = \frac{O_2T_2}{AO_2}$
$\sin(30^\circ) = \frac{R}{AO_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{AO_2}$
Отсюда, расстояние от вершины угла до центра большей окружности:
$AO_2 = 2R$.

Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов:
$O_1O_2 = r + R = 6 + R$.

Поскольку точки $A$, $O_1$, $O_2$ лежат на одной прямой (биссектрисе) и меньшая окружность находится ближе к вершине угла, расстояние $AO_2$ можно представить как сумму расстояний $AO_1$ и $O_1O_2$:
$AO_2 = AO_1 + O_1O_2$

Теперь подставим полученные ранее выражения в это равенство:
$2R = 12 + (6 + R)$
$2R = 18 + R$
$2R - R = 18$
$R = 18$ см.

Ответ: 18 см.