Номер 22.121, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.121. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AB = 24$ см. Точка $A$ удалена от касательной к этой окружности на $4$ см. Найдите расстояние от точки $B$ до этой касательной.

Пусть O — центр окружности, а l — касательная. Диаметр AB равен 24 см, следовательно, радиус окружности R равен половине диаметра:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Расстояние от центра окружности до любой её касательной равно радиусу. Таким образом, расстояние от точки O до прямой l составляет 12 см.

Опустим перпендикуляры из точек A, O и B на касательную l. Обозначим основания этих перпендикуляров как A₁, O₁ и B₁ соответственно. Длины этих перпендикуляров и являются расстояниями от точек A, O и B до прямой l.

Из условия задачи мы знаем:

• Расстояние от A до l: $AA_1 = 4$ см.
• Расстояние от O до l: $OO_1 = R = 12$ см.

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $BB_1$.

Поскольку отрезки $AA_1$, $OO_1$ и $BB_1$ перпендикулярны одной и той же прямой l, они параллельны друг другу ($AA_1 \parallel OO_1 \parallel BB_1$). Так как точки A, O, B лежат на одной прямой (диаметре) и O является серединой отрезка AB, то фигура $AA_1B_1B$ представляет собой трапецию (с основаниями $AA_1$ и $BB_1$), а отрезок $OO_1$ является её средней линией.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Запишем соответствующую формулу:

$OO_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим в формулу известные нам значения и найдём $BB_1$:

$12 = \frac{4 + BB_1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$24 = 4 + BB_1$

$BB_1 = 24 - 4$

$BB_1 = 20$ см.

Следовательно, расстояние от точки B до этой касательной составляет 20 см.

Ответ: 20 см.