Номер 22.122, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.122. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 17 см, имеют внешнее касание. Найдите радиусы этих окружностей, если расстояние между точками касания окружностей с их общей внешней касательной равно 15 см.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы двух окружностей, а $O_1$ и $O_2$ — их центры. Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Согласно условию, это расстояние равно 17 см, следовательно:

$R + r = 17$

Пусть общая внешняя касательная касается окружностей в точках $A$ и $B$. Длина отрезка этой касательной между точками касания по условию равна 15 см, то есть $AB = 15$ см.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Это означает, что фигура $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ и высотой $AB = 15$ см.

Для нахождения связи между радиусами проведем из центра меньшей окружности (предположим, с центром $O_2$ и радиусом $r$) отрезок $O_2C$, параллельный касательной $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$. Точка $C$ будет лежать на отрезке $O_1A$.

В результате мы получаем прямоугольник $ABO_2C$ и прямоугольный треугольник $O_1CO_2$.

Из свойств прямоугольника следует, что $O_2C = AB = 15$ см и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1CO_2$. Его стороны:

- Гипотенуза $O_1O_2 = 17$ см (расстояние между центрами).

- Катет $O_2C = 15$ см.

- Катет $O_1C = O_1A - AC = R - r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $O_1CO_2$:

$O_1O_2^2 = O_1C^2 + O_2C^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = (R - r)^2 + 15^2$

$289 = (R - r)^2 + 225$

$(R - r)^2 = 289 - 225$

$(R - r)^2 = 64$

$R - r = \sqrt{64} = 8$ (разность радиусов является положительной величиной).

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} R + r = 17 \\ R - r = 8 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(R + r) + (R - r) = 17 + 8$

$2R = 25$

$R = 12,5$ см.

Теперь найдем $r$, подставив значение $R$ в первое уравнение:

$12,5 + r = 17$

$r = 17 - 12,5$

$r = 4,5$ см.

Ответ: радиусы окружностей равны 12,5 см и 4,5 см.