Номер 22.124, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.124. Два окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ имеют внешнее касание в точке $C$. Прямая, проходящая через точку $C$, пересекает окружность с центром $O_1$ в точке $A$, а другую окружность — в точке $B$. Хорда $AC$ равна 12 см, а хорда $BC$ — 18 см. Найдите радиусы окружностей, если $O_1O_2 = 20$ см.

Пусть $R_1$ — радиус окружности с центром в точке $O_1$ (которой принадлежит хорда $AC$), а $R_2$ — радиус окружности с центром в точке $O_2$ (которой принадлежит хорда $BC$).

Поскольку окружности касаются внешним образом в точке $C$, их центры $O_1$, $O_2$ и точка касания $C$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами равно сумме их радиусов:$$ O_1O_2 = R_1 + R_2 $$Из условия задачи известно, что $O_1O_2 = 20$ см, следовательно, мы получаем первое уравнение:$$ R_1 + R_2 = 20 $$

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1C$. Так как $O_1A$ и $O_1C$ являются радиусами первой окружности, то $O_1A = O_1C = R_1$. Следовательно, треугольник $\triangle AO_1C$ — равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle O_1AC = \angle O_1CA$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BO_2C$. Стороны $O_2B$ и $O_2C$ — радиусы второй окружности, поэтому $O_2B = O_2C = R_2$. Треугольник $\triangle BO_2C$ также является равнобедренным, и $\angle O_2BC = \angle O_2CB$.

Прямая $AB$ и прямая $O_1O_2$ пересекаются в точке $C$. Углы $\angle O_1CA$ и $\angle O_2CB$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle O_1CA = \angle O_2CB$.

Из равенств углов, полученных выше ($\angle O_1AC = \angle O_1CA$, $\angle O_2BC = \angle O_2CB$ и $\angle O_1CA = \angle O_2CB$), следует, что:$$ \angle O_1AC = \angle O_2BC $$Таким образом, треугольники $\triangle AO_1C$ и $\triangle BO_2C$ подобны по двум углам (например, по $\angle O_1CA = \angle O_2CB$ и $\angle O_1AC = \angle O_2BC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$$ \frac{AC}{BC} = \frac{O_1C}{O_2C} = \frac{R_1}{R_2} $$Подставляя известные значения длин хорд, получаем:$$ \frac{12}{18} = \frac{R_1}{R_2} $$Упростив дробь, находим соотношение между радиусами:$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} $$Отсюда получаем второе уравнение: $R_1 = \frac{2}{3}R_2$.

Теперь решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} R_1 + R_2 = 20 \\ R_1 = \frac{2}{3}R_2 \end{cases} $$Подставим выражение для $R_1$ из второго уравнения в первое:$$ \frac{2}{3}R_2 + R_2 = 20 $$$$ \frac{5}{3}R_2 = 20 $$$$ R_2 = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \text{ см} $$Теперь, зная $R_2$, найдем $R_1$:$$ R_1 = 20 - R_2 = 20 - 12 = 8 \text{ см} $$

Ответ: радиус окружности с центром $O_1$ равен 8 см, а радиус окружности с центром $O_2$ равен 12 см.