Номер 22.125, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.125. Две окружности имеют внешнее касание в точке $A$, точки $B$ и $C$ — точки касания с этими окружностями их общей касательной.

Докажите, что $\angle BAC$ прямой.

Доказательство

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, которые касаются внешним образом в точке $A$. Пусть общая внешняя касательная касается окружности $\omega_1$ в точке $B$ и окружности $\omega_2$ в точке $C$.

Проведем общую внутреннюю касательную к обеим окружностям через их точку касания $A$. Пусть эта касательная пересекает общую внешнюю касательную $BC$ в точке $M$.

Рассмотрим точку $M$ и отрезки касательных, проведенных из нее к окружности $\omega_1$. Такими отрезками являются $MB$ и $MA$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, их длины равны: $MB = MA$.

Аналогично, рассмотрим точку $M$ и отрезки касательных, проведенных из нее к окружности $\omega_2$. Такими отрезками являются $MC$ и $MA$. Их длины также равны: $MC = MA$.

Из полученных равенств следует, что $MB = MA = MC$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$, а отрезок $AM$ является медианой треугольника $\triangle BAC$.

Длина медианы $AM$ равна половине длины стороны $BC$, к которой она проведена, так как $AM = MB = MC$ и $BC = MB + MC = 2 \cdot AM$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, является прямым.

Следовательно, угол $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle BAC$ является прямым, то есть $\angle BAC = 90^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол $BAC$ прямой.