Номер 22.116, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.116. На сторонах $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $CM : MD = 1 : 1$ и $AN : ND = 1 : 2$. Отрезки $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $BK : KM$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $CD$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, так что $CM:MD = 1:1$ (т.е. $M$ — середина $CD$) и $AN:ND = 1:2$. Отрезки $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$.

Для решения задачи используем метод подобных треугольников. Продлим отрезок $BM$ до пересечения с продолжением стороны $AD$ в точке $P$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel AP$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle PDM$.

• $\angle CMB = \angle PMD$ как вертикальные углы.
• $\angle CBM = \angle DPM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AP$ и секущей $BP$.

Следовательно, $\triangle BCM \sim \triangle PDM$ по двум углам. Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:$$ \frac{BC}{PD} = \frac{CM}{MD} = \frac{BM}{PM} $$По условию $CM:MD=1:1$, значит $CM=MD$, и отношение $\frac{CM}{MD} = 1$. Тогда $\frac{BC}{PD} = 1$, откуда $BC = PD$. Также из $\frac{BM}{PM} = 1$ следует, что $BM = PM$.

По условию $AN:ND = 1:2$. Примем длину отрезка $AN$ за $x$, тогда $ND = 2x$. Длина стороны $AD = AN + ND = x + 2x = 3x$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD = 3x$. Из ранее доказанного $PD = BC$, следует, что $PD = 3x$. Точка $P$ лежит на продолжении $AD$ за точкой $D$, поэтому длина отрезка $PN$ равна сумме длин отрезков $PD$ и $ND$:$PN = PD + ND = 3x + 2x = 5x$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle PKN$.

• $\angle BKC = \angle PKN$ как вертикальные углы.
• $\angle KBC = \angle KPN$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AP$ и секущей $BP$.

Следовательно, $\triangle BKC \sim \triangle PKN$ по двум углам. Из подобия следует отношение сторон:$$ \frac{BK}{PK} = \frac{CK}{NK} = \frac{BC}{PN} $$Подставим найденные выражения для длин $BC$ и $PN$:$$ \frac{BC}{PN} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $$Таким образом, получаем отношение $\frac{BK}{PK} = \frac{3}{5}$.

Нам нужно найти отношение $BK:KM$. Выразим отрезок $PK$ через отрезки, связанные с точкой $M$. Точки $P, M, K, B$ лежат на одной прямой.$PK = PM + MK$. Ранее мы установили, что $PM = BM$. В свою очередь, отрезок $BM$ состоит из отрезков $BK$ и $KM$: $BM = BK + KM$. Следовательно, $PM = BK + KM$. Подставим это в выражение для $PK$:$PK = (BK + KM) + KM = BK + 2KM$.

Теперь вернемся к отношению $\frac{BK}{PK} = \frac{3}{5}$ и подставим в него полученное выражение для $PK$:$$ \frac{BK}{BK + 2KM} = \frac{3}{5} $$Воспользуемся основным свойством пропорции:$5 \cdot BK = 3 \cdot (BK + 2KM)$$5 \cdot BK = 3 \cdot BK + 6 \cdot KM$$5 \cdot BK - 3 \cdot BK = 6 \cdot KM$$2 \cdot BK = 6 \cdot KM$Разделим обе части равенства на $2 \cdot KM$ (поскольку длина отрезка не равна нулю):$$ \frac{BK}{KM} = \frac{6}{2} = 3 $$Следовательно, искомое отношение $BK : KM = 3:1$.

Ответ: $3:1$.