Номер 22.113, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.113. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по одну сторону от хорды.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, а $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности. Пусть их общая хорда имеет длину $a$.

Для первой окружности эта хорда является стороной вписанного правильного треугольника. Длина стороны такого треугольника связана с радиусом $R_1$ соотношением $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус первой окружности: $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Расстояние $d_1$ от центра $O_1$ до хорды найдем из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R_1$ (гипотенуза), половиной хорды $\frac{a}{2}$ (катет) и самим расстоянием $d_1$ (второй катет). По теореме Пифагора:$d_1 = \sqrt{R_1^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2 - 3a^2}{12}} = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Для второй окружности эта же хорда является стороной вписанного правильного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу, поэтому $R_2 = a$. Найдем расстояние $d_2$ от центра $O_2$ до хорды аналогичным образом:$d_2 = \sqrt{R_2^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Линия, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Поскольку по условию центры $O_1$ и $O_2$ лежат по одну сторону от общей хорды, расстояние между ними равно модулю разности расстояний от каждого центра до этой хорды.$d = |d_2 - d_1| = |\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{2\sqrt{3}}|$. Приведем выражения к общему знаменателю $2\sqrt{3}$:$d = |\frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{2\sqrt{3}}| = |\frac{3a-a}{2\sqrt{3}}| = \frac{2a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$d = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.