Номер 22.112, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.112. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны от хорды.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, в которую вписан правильный треугольник со стороной $a$. Пусть $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности, в которую вписан квадрат со стороной $a$. $AB$ — общая хорда, длина которой равна $a$. Расстояние между центрами $O_1O_2$ проходит через середину хорды $AB$, пусть это будет точка $M$. Линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$.

Поскольку центры окружностей лежат по разные стороны от хорды, искомое расстояние $O_1O_2$ будет равно сумме расстояний от каждого центра до хорды: $O_1O_2 = O_1M + O_2M$.

1. Найдем расстояние от центра первой окружности до хорды.

Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность радиуса $R_1$, связана с радиусом формулой $a_3 = R_1\sqrt{3}$. По условию $a_3 = a$, следовательно, $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус первой окружности: $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Гипотенуза $O_1A$ равна радиусу $R_1$, катет $AM$ равен половине хорды $AB$, то есть $AM = \frac{a}{2}$. Второй катет $O_1M$ — это искомое расстояние от центра до хорды. По теореме Пифагора: $O_1M^2 = R_1^2 - AM^2$ $O_1M^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$ $O_1M = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

2. Найдем расстояние от центра второй окружности до хорды.

Сторона квадрата ($a_4$), вписанного в окружность радиуса $R_2$, связана с радиусом формулой $a_4 = R_2\sqrt{2}$. По условию $a_4 = a$, следовательно, $a = R_2\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус второй окружности: $R_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. Гипотенуза $O_2A$ равна радиусу $R_2$, катет $AM = \frac{a}{2}$. Второй катет $O_2M$ — расстояние от центра до хорды. По теореме Пифагора: $O_2M^2 = R_2^2 - AM^2$ $O_2M^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$ $O_2M = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.

3. Найдем расстояние между центрами окружностей.

Так как центры лежат по разные стороны от хорды, расстояние между ними равно сумме расстояний от каждого центра до хорды: $O_1O_2 = O_1M + O_2M = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a}{2}$ Приведем к общему знаменателю: $O_1O_2 = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{3a}{6} = \frac{a\sqrt{3} + 3a}{6} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$.

Ответ: $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$.