Номер 22.105, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.105. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Из произвольной точки $M$ окружности проведены перпендикуляры $MN$ и $MK$ к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите положение точки $M$, для которого длина отрезка $NK$ является наибольшей.

Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины треугольника, а $\omega$ — описанная около него окружность. Пусть $M$ — произвольная точка на окружности $\omega$. По условию, из точки $M$ проведены перпендикуляры $MN$ к прямой $AB$ ($N \in AB$) и $MK$ к прямой $AC$ ($K \in AC$). Это означает, что $\angle MNA = 90^\circ$ и $\angle MKA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ANMK$. Углы $\angle ANM$ и $\angle AKM$ являются прямыми. Точки $N$ и $K$ лежат на окружности, диаметром которой является отрезок $AM$, так как из этих точек отрезок $AM$ виден под прямым углом.

Треугольник $ANK$ вписан в эту же окружность с диаметром $AM$. По следствию из теоремы синусов (обобщенной теореме синусов), отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Для треугольника $ANK$ это соотношение выглядит так:$ \frac{NK}{\sin(\angle NAK)} = AM $

Угол $\angle NAK$ совпадает с углом $\angle BAC$ треугольника $ABC$. Обозначим его как $\alpha$. Тогда $\angle NAK = \angle BAC = \alpha$. Выразим длину отрезка $NK$ из формулы выше:$ NK = AM \cdot \sin(\angle NAK) = AM \cdot \sin(\alpha) $

Поскольку треугольник $ABC$ задан, то угол $\alpha$ является постоянной величиной, а значит, и $\sin(\alpha)$ — константа (при условии, что $\alpha \neq 0$ и $\alpha \neq 180^\circ$, что выполняется для невырожденного треугольника).

Из полученной формулы видно, что длина отрезка $NK$ прямо пропорциональна длине отрезка $AM$. Следовательно, чтобы длина $NK$ была наибольшей, необходимо, чтобы длина отрезка $AM$ была наибольшей.

Точка $A$ является фиксированной вершиной треугольника, лежащей на описанной окружности. Точка $M$ также перемещается по этой окружности. Отрезок $AM$ — это хорда данной окружности. Наибольшее значение длина хорды, проходящей через фиксированную точку на окружности, принимает тогда, когда эта хорда является диаметром.

Таким образом, $AM$ будет иметь наибольшую длину, когда $M$ — это точка на описанной окружности, диаметрально противоположная вершине $A$.

Ответ: Точка $M$ должна быть диаметрально противоположна вершине $A$ на описанной окружности треугольника $ABC$.