Номер 22.100, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.100. Найдите диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$, если около него можно описать окружность и $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

Поскольку около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна 180°. Следовательно, $\angle B + \angle D = 180°$.

Рассмотрим диагональ $AC$, которая делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Мы можем найти квадрат длины этой диагонали, применив теорему косинусов к каждому из этих треугольников.

Для треугольника $\triangle ABC$ по теореме косинусов имеем:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставляем известные значения $AB = 3$ см и $BC = 4$ см:

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 9 + 16 - 24 \cos(\angle B)$

$AC^2 = 25 - 24 \cos(\angle B)$ (1)

Для треугольника $\triangle ADC$ по теореме косинусов имеем:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставляем известные значения $AD = 6$ см и $CD = 5$ см:

$AC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 36 + 25 - 60 \cos(\angle D)$

$AC^2 = 61 - 60 \cos(\angle D)$ (2)

Используем свойство вписанного четырехугольника: $\angle B + \angle D = 180°$. Отсюда следует, что $\cos(\angle D) = \cos(180° - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$AC^2 = 61 - 60(-\cos(\angle B))$

$AC^2 = 61 + 60 \cos(\angle B)$ (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными $AC^2$ и $\cos(\angle B)$. Приравняем правые части этих уравнений, чтобы найти значение $\cos(\angle B)$:

$25 - 24 \cos(\angle B) = 61 + 60 \cos(\angle B)$

$25 - 61 = 60 \cos(\angle B) + 24 \cos(\angle B)$

$-36 = 84 \cos(\angle B)$

$\cos(\angle B) = -\frac{36}{84} = -\frac{3 \cdot 12}{7 \cdot 12} = -\frac{3}{7}$

Теперь, когда мы нашли $\cos(\angle B)$, подставим его значение в любое из уравнений для $AC^2$, например, в уравнение (1):

$AC^2 = 25 - 24 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)$

$AC^2 = 25 + \frac{72}{7}$

$AC^2 = \frac{25 \cdot 7}{7} + \frac{72}{7}$

$AC^2 = \frac{175 + 72}{7}$

$AC^2 = \frac{247}{7}$

Отсюда находим длину диагонали $AC$:

$AC = \sqrt{\frac{247}{7}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{247}{7}}$ см.