Номер 22.95, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.95. Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен $R$.

Пусть трапеция называется $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, окружность построена на $AD$ как на диаметре. Пусть $O$ — центр этой окружности, тогда $O$ является серединой $AD$.

Диаметр окружности равен $AD$. Так как радиус окружности равен $R$, то $AD = 2R$.

Окружность касается меньшего основания $BC$. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до прямой $BC$ равно радиусу $R$. Это расстояние есть не что иное, как высота трапеции $h$. Таким образом, $h = R$.

Поскольку окружность, построенная на основании $AD$, симметрична относительно высоты, проходящей через ее центр $O$, а также касается другого основания $BC$, то трапеция является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Окружность пересекает боковые стороны и делит их пополам. Рассмотрим боковую сторону $CD$. Пусть точка $N$ — середина стороны $CD$. По условию, точка $N$ лежит на окружности.

Введем систему координат с центром в точке $O(0,0)$. Ось абсцисс направим вдоль основания $AD$. Тогда вершины $A$ и $D$ имеют координаты $A(-R, 0)$ и $D(R, 0)$.

Поскольку высота трапеции равна $R$, прямая, содержащая основание $BC$, задается уравнением $y=R$. Обозначим длину меньшего основания $BC$ через $b$. В силу симметрии трапеции относительно оси ординат, вершины $B$ и $C$ будут иметь координаты $B(-b/2, R)$ и $C(b/2, R)$.

Найдем координаты точки $N$ — середины отрезка $CD$. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

$C(\frac{b}{2}, R)$ и $D(R, 0)$.

$x_N = \frac{\frac{b}{2} + R}{2} = \frac{b+2R}{4}$

$y_N = \frac{R + 0}{2} = \frac{R}{2}$

Таким образом, точка $N$ имеет координаты $N(\frac{2R+b}{4}, \frac{R}{2})$.

По условию, точка $N$ лежит на окружности. Уравнение нашей окружности с центром в начале координат и радиусом $R$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Подставим координаты точки $N$ в это уравнение:

$(\frac{2R+b}{4})^2 + (\frac{R}{2})^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $b$:

$\frac{(2R+b)^2}{16} + \frac{R^2}{4} = R^2$

$\frac{4R^2 + 4Rb + b^2}{16} + \frac{4R^2}{16} = \frac{16R^2}{16}$

$4R^2 + 4Rb + b^2 + 4R^2 = 16R^2$

$b^2 + 4Rb + 8R^2 - 16R^2 = 0$

$b^2 + 4Rb - 8R^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем его корни по формуле:

$b = \frac{-4R \pm \sqrt{(4R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8R^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4R \pm \sqrt{16R^2 + 32R^2}}{2} = \frac{-4R \pm \sqrt{48R^2}}{2}$

$b = \frac{-4R \pm \sqrt{16 \cdot 3 \cdot R^2}}{2} = \frac{-4R \pm 4R\sqrt{3}}{2} = -2R \pm 2R\sqrt{3}$

Так как длина основания $b$ должна быть положительной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$b = -2R + 2R\sqrt{3} = 2R(\sqrt{3} - 1)$

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, значение $b$ положительно.

Ответ: $2R(\sqrt{3} - 1)$.