Номер 22.90, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.90. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Решение

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. По условию, меньшее основание $BC = a$. Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $BAD$ и перпендикулярна боковой стороне $CD$.

1. Рассмотрим свойства, вытекающие из того, что диагональ является биссектрисой.

Так как $AC$ — биссектриса угла $BAD$, то $\angle BAC = \angle CAD$.
Поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Так как по условию $BC = a$, то и $AB = a$.
Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = a$.

2. Найдем углы трапеции.

По условию диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным.
Пусть $\angle CAD = \alpha$. Тогда, так как $AC$ — биссектриса, $\angle BAD = 2\alpha$.
В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ACD$ равна $90^\circ$:

$\angle CAD + \angle CDA = 90^\circ$

Подставим наши обозначения:

$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, острые углы трапеции при большем основании равны $2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

3. Найдем длину большего основания и высоту трапеции.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ нам известны угол $\angle CAD = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $CD = a$. Большее основание $AD$ является гипотенузой этого треугольника.

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$

$\sin(30^\circ) = \frac{a}{AD}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{AD} \implies AD = 2a$.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем гипотенуза $CD = a$ и угол $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$.

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDH)$

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

4. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$

Ответ: $S = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.