Номер 22.86, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.86. Докажите, что радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, можно вычислить по формуле $r = \frac{ab}{a+b}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть основания $AD = a$ и $BC = b$, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям ($AB \perp AD$ и $AB \perp BC$).

Поскольку в трапецию вписана окружность, ее высота $h$ равна диаметру окружности. В данной прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне $AB$. Таким образом, $h = AB = 2r$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности. Пусть точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ будут $P, Q, R, S$ соответственно.

Так как углы $A$ и $B$ прямые, а радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам, то четырехугольники, образованные центром окружности $O$ и точками касания (например, $APOS$), являются квадратами со стороной $r$. Следовательно, отрезки касательных от вершин $A$ и $B$ равны радиусу:
$AS = AP = r$
$BQ = BP = r$

Теперь выразим длины оснований через радиус и оставшиеся отрезки касательных:
$a = AD = AS + SD = r + SD \implies SD = a - r$.
$b = BC = BQ + QC = r + QC \implies QC = b - r$.

Длина наклонной боковой стороны $CD$ равна сумме отрезков касательных $CR$ и $DR$. По свойству касательных, длины отрезков от одной вершины до точек касания равны, поэтому $CR = QC$ и $DR = SD$.
$CD = CR + DR = (b - r) + (a - r) = a + b - 2r$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:
1. Катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 2r$.
2. Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = a - b$.
3. Гипотенуза — это наклонная сторона $CD = a + b - 2r$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(a + b - 2r)^2 = (2r)^2 + (a - b)^2$

Раскроем скобки. Левую часть раскроем по формуле квадрата разности, а правую — по формуле квадрата разности:
$(a+b)^2 - 2 \cdot (a+b) \cdot (2r) + (2r)^2 = 4r^2 + (a-b)^2$
$(a+b)^2 - 4r(a+b) + 4r^2 = 4r^2 + (a-b)^2$

Сократим $4r^2$ в обеих частях уравнения и сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $r$:
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4r(a+b)$

Применим в левой части формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b)) = 4r(a+b)$
$(a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = 4r(a+b)$
$(2b) \cdot (2a) = 4r(a+b)$
$4ab = 4r(a+b)$

Разделим обе части уравнения на 4:
$ab = r(a+b)$

Наконец, выразим радиус $r$:
$r = \frac{ab}{a+b}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.