Номер 22.81, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.81. Меньшая диагональ прямоугольной трапеции делит её тупой угол пополам, а другую диагональ делит в отношении $5 : 2$, считая от вершины острого угла. Найдите периметр трапеции, если её меньшая боковая сторона равна 12 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Меньшая боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и по условию её длина равна $AB = 12$ см. Тупой угол трапеции — это $\angle BCD$, а острый — $\angle ADC$.

Меньшая диагональ в такой трапеции — это $AC$. По условию, она делит тупой угол $\angle BCD$ пополам. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, $\angle BCA = \angle CAD$.

Из равенств $\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$ следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это значит, что треугольник $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AD = CD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ в отношении $5:2$, считая от вершины острого угла $D$. Таким образом, $DO:OB = 5:2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Они подобны по двум углам:

1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle CBO = \angle ADO$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BC}{AD} = \frac{OB}{DO}$

Так как $DO:OB = 5:2$, то $\frac{OB}{DO} = \frac{2}{5}$. Следовательно, $\frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$.

Введём коэффициент пропорциональности $x$. Пусть $BC = 2x$, тогда $AD = 5x$. Поскольку мы ранее установили, что $AD = CD$, то $CD = 5x$

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $ABCH$ — прямоугольник, и $CH = AB = 12$ см, а $AH = BC = 2x$.

Длина отрезка $HD$ на большем основании равна разности длин $AD$ и $AH$:

$HD = AD - AH = 5x - 2x = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Применим к нему теорему Пифагора: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.

Подставим известные значения:

$12^2 + (3x)^2 = (5x)^2$

$144 + 9x^2 = 25x^2$

$16x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{16} = 9$

$x = 3$ (длина стороны может быть только положительной).

Теперь найдём длины сторон трапеции:

• Меньшая боковая сторона: $AB = 12$ см.
• Меньшее основание: $BC = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.
• Большее основание: $AD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.
• Большая боковая сторона: $CD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Периметр трапеции — это сумма длин всех её сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 12 + 6 + 15 + 15 = 48$ см.

Ответ: 48 см.