Номер 22.85, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.85. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Обозначим длины оснований как $a$ и $b$, то есть $BC=a$ и $AD=b$. Высота трапеции $h$ равна боковой стороне $AB$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

Поскольку трапеция описана около окружности, для неё выполняется свойство описанного четырёхугольника: суммы длин противоположных сторон равны. $$AB + CD = BC + AD$$ Подставляя наши обозначения, получаем: $$h + CD = a + b$$ Отсюда можно выразить длину боковой стороны $CD$: $$CD = a + b - h$$

Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. Его стороны равны:

• $CH = AB = h$
• $HD = AD - AH = AD - BC = b - a$ (без ограничения общности, пусть $b>a$)
• $CD$ — гипотенуза

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$: $$CD^2 = CH^2 + HD^2$$ Подставим выражения для сторон: $$CD^2 = h^2 + (b-a)^2$$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $CD = a + b - h$: $$(a + b - h)^2 = h^2 + (b-a)^2$$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (b^2 - 2ab + a^2)$$ $$a^2 + 2ab + b^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$$ Сократим одинаковые члены ($a^2, b^2, h^2$) в обеих частях: $$2ab - 2h(a+b) = -2ab$$ Перенесём слагаемые: $$4ab = 2h(a+b)$$ Разделим обе части на 2: $$2ab = h(a+b)$$

Теперь вернёмся к формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Мы можем переписать её как $S = \frac{h(a+b)}{2}$. Из полученного нами равенства $2ab = h(a+b)$ следует, что $ab = \frac{h(a+b)}{2}$. Сравнивая два последних выражения, получаем: $$S = ab$$ Таким образом, площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, действительно равна произведению её оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.