Номер 22.84, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.84. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см. Вычислите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Пусть основаниями трапеции являются AD и BC, причём AD — большее основание. Пусть AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям, то есть $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

Пусть окружность с центром O и радиусом $r$ касается сторон AB, BC, CD и AD в точках M, N, P и K соответственно.

По условию, точка касания K делит большее основание AD на отрезки длиной 20 см и 25 см. Длина основания AD равна $20 + 25 = 45$ см.

Рассмотрим четырёхугольник AMOK. Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, то $OM \perp AB$ и $OK \perp AD$. Поскольку $\angle A = 90^\circ$, то AMOK является прямоугольником. А так как смежные стороны OM и OK равны радиусу окружности $r$, то AMOK — квадрат. Следовательно, $AK = AM = r$.

Высота трапеции AB равна диаметру вписанной окружности, так как окружность касается обоих параллельных оснований. Таким образом, $AB = 2r$.

Возможны два случая расположения отрезков на основании AD:

1. $AK = 20$ см и $KD = 25$ см. В этом случае радиус $r = AK = 20$ см. Высота трапеции $AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.

2. $AK = 25$ см и $KD = 20$ см. В этом случае радиус $r = AK = 25$ см. Высота трапеции $AB = 2r = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Используем свойство касательных, проведённых из одной точки к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.$AK = AM$, $KD = DP$, $BM = BN$, $CN = CP$. Так как BMON также является квадратом (аналогично AMOK), то $BM = BN = r$. Пусть $CN = CP = x$.

Теперь выразим длины сторон BC и CD через $r$ и $x$:$BC = BN + NC = r + x$$CD = CP + PD = x + KD$

Для нахождения $x$ проведём высоту CH из вершины C на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CHD, где $CH = AB = 2r$ и $HD = AD - AH = AD - BC = (AK+KD) - (r+x)$. Поскольку $r=AK$, то $HD = KD - x$. По теореме Пифагора для треугольника CHD: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.$(2r)^2 + (KD - x)^2 = (KD + x)^2$$4r^2 + KD^2 - 2 \cdot KD \cdot x + x^2 = KD^2 + 2 \cdot KD \cdot x + x^2$$4r^2 = 4 \cdot KD \cdot x$$x = \frac{r^2}{KD} = \frac{AK^2}{KD}$

Рассмотрим оба случая:

1. $AK = 20$, $KD = 25$.$x = \frac{20^2}{25} = \frac{400}{25} = 16$ см. Тогда меньшее основание $BC = r + x = 20 + 16 = 36$ см.$AD = 45$ см, $BC = 36$ см. Так как $45 > 36$, AD действительно является большим основанием. Этот случай соответствует условию задачи.

2. $AK = 25$, $KD = 20$.$x = \frac{25^2}{20} = \frac{625}{20} = 31.25$ см. Тогда основание $BC = r + x = 25 + 31.25 = 56.25$ см.$AD = 45$ см, $BC = 56.25$ см. В этом случае AD является меньшим основанием, что противоречит условию задачи.

Следовательно, верен только первый случай. Найдём длины всех сторон трапеции:$AD = 45$ см$AB = 40$ см$BC = 36$ см$CD = x + KD = 16 + 25 = 41$ см

Периметр трапеции P равен сумме длин всех её сторон:$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 36 + 41 + 45 = 162$ см.

Также можно использовать свойство описанного четырёхугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.$40 + 41 = 36 + 45 \implies 81 = 81$. Периметр $P = (AB + CD) + (BC + AD) = 81 + 81 = 162$ см.

Ответ: 162 см.