Номер 22.83, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.83. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с прямыми углами $A$ и $B$. $AB$ – меньшая боковая сторона, которая также является высотой трапеции, $CD$ – большая боковая сторона, $BC$ и $AD$ – основания. Пусть вписанная окружность касается большей боковой стороны $CD$ в точке $K$.

По условию задачи, точка касания $K$ делит сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 50$ см. Тогда длина всей боковой стороны $CD$ равна:$CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $ABCH$ – прямоугольник, следовательно, высота $CH = AB$, а отрезок $AH = BC$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD = 58$ см, катет $CH$ равен высоте трапеции $h$, а катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC$.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки: их длины равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $L$ соответственно. Тогда $CM = CK = 8$ см, а $DL = DK = 50$ см.

Для прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру этой окружности ($h = 2r$), а отрезки касательных, проведенные от вершин прямых углов, равны радиусу окружности ($r$). Таким образом, мы можем выразить длины оснований через радиус:
$BC = BM + MC = r + 8$
$AD = AL + LD = r + 50$

Теперь мы можем найти длину катета $HD$ в треугольнике $CHD$:
$HD = AD - BC = (r + 50) - (r + 8) = 42$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $CHD$:
$CH^2 + HD^2 = CD^2$
$h^2 + 42^2 = 58^2$
$h^2 + 1764 = 3364$
$h^2 = 3364 - 1764 = 1600$
$h = \sqrt{1600} = 40$ см.

Таким образом, высота трапеции и ее меньшая боковая сторона $AB = h = 40$ см. Поскольку $h = 2r$, радиус вписанной окружности $r = h/2 = 40/2 = 20$ см. Теперь найдем длины оснований:
$BC = r + 8 = 20 + 8 = 28$ см
$AD = r + 50 = 20 + 50 = 70$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 28 + 58 + 70 = 196$ см.

Ответ: 196 см.