Номер 22.78, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.78. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит её острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = 15$ см, а большее основание $AD = 33$ см. Диагональ AC делит острый угол $\angle DAB$ пополам.

1. Нахождение боковой стороны

Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла $\angle DAB$, то $\angle CAD = \angle CAB$.
Основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), поэтому углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
Из этих двух равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$.
Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Так как $BC = 15$ см, то и боковая сторона $AB = 15$ см.
Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 15$ см.

2. Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершины B высоту BH на основание AD. В равнобокой трапеции отрезок AH, отсекаемый высотой от большего основания, можно найти по формуле:
$AH = \frac{AD - BC}{2}$
Подставим значения оснований:
$AH = \frac{33 - 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (где $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем высоту BH:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$BH = \sqrt{144} = 12$ см.
Таким образом, высота трапеции равна 12 см.

3. Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где a и b — основания, а h — высота.
Подставим наши значения:
$S = \frac{33 + 15}{2} \cdot 12 = \frac{48}{2} \cdot 12 = 24 \cdot 12 = 288$ см².

Ответ: 288 см².