Номер 22.80, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.80. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 20 см и 12 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $\angle A = \angle B = 90^\circ$. $CD$ — большая боковая сторона, а $C$ — вершина тупого угла.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Поскольку $AB$ также является высотой, то $AB = CH$, и четырёхугольник $ABCH$ — прямоугольник. Отсюда следует, что $AH = BC$.

Большей диагональю в такой трапеции является $BD$. По условию, диагональ $BD$ пересекает высоту $CH$ в точке $K$ и делит её на отрезки длиной 20 см и 12 см. Таким образом, высота трапеции $h = CH = 20 + 12 = 32$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle DKH$.

• $\angle KBC = \angle KDH$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).
• $\angle BKC = \angle DKH$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle BKC \sim \triangle DKH$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BC}{DH} = \frac{CK}{KH}$

По условию задачи, большая боковая сторона $CD$ равна меньшему основанию $BC$. Обозначим $BC = CD = x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$ (угол $H$ — прямой). По теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + DH^2$

Подставим известные значения и переменные:

$x^2 = 32^2 + DH^2$

Из соотношения подобия выразим $DH$: $DH = BC \cdot \frac{KH}{CK} = x \cdot \frac{KH}{CK}$. Подставим это выражение в уравнение теоремы Пифагора:

$x^2 = 32^2 + \left(x \cdot \frac{KH}{CK}\right)^2$

$x^2 - x^2 \left(\frac{KH}{CK}\right)^2 = 32^2$

$x^2 \left(1 - \left(\frac{KH}{CK}\right)^2\right) = 1024$

Так как $x^2$ должно быть положительным числом, то и выражение в скобках должно быть положительным:

$1 - \left(\frac{KH}{CK}\right)^2 > 0 \implies 1 > \frac{KH^2}{CK^2} \implies CK^2 > KH^2 \implies CK > KH$.

Это означает, что $CK$ — больший из двух отрезков, то есть $CK = 20$ см, а $KH = 12$ см.

Теперь можем найти $x$:

$x^2 \left(1 - \left(\frac{12}{20}\right)^2\right) = 1024$

$x^2 \left(1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2\right) = 1024$

$x^2 \left(1 - \frac{9}{25}\right) = 1024$

$x^2 \cdot \frac{16}{25} = 1024$

$x^2 = \frac{1024 \cdot 25}{16} = 64 \cdot 25 = 1600$

$x = \sqrt{1600} = 40$ см.

Итак, меньшее основание $BC = 40$ см. Найдём отрезок $DH$:

$DH = BC \cdot \frac{KH}{CK} = 40 \cdot \frac{12}{20} = 24$ см.

Большее основание $AD = AH + DH$. Так как $AH = BC$, то $AD = 40 + 24 = 64$ см.

Теперь найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{64 + 40}{2} \cdot 32 = \frac{104}{2} \cdot 32 = 52 \cdot 32 = 1664$ см$^2$.

Ответ: 1664 см$^2$.