Номер 22.79, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.79. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно боковой стороне трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB = CD$. Проведем высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ на большее основание $AD$. Диагональ $BD$ пересекает высоту $CH$ в точке $O$.

По условию, точка $O$ делит высоту $CH$ на отрезки длиной 10 см и 8 см. Таким образом, полная высота трапеции $h = CH = 10 + 8 = 18$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCO$ и $\triangle DHO$.

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOH$ равны как вертикальные.

2. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то прямая $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CBO$ и $\angle HDO$ равны.

Из этого следует, что треугольники $\triangle BCO$ и $\triangle DHO$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{BC}{DH} = \frac{CO}{OH}$

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от того, какой из отрезков, $CO$ или $OH$, равен 10 см.

Случай 1: $CO = 10$ см и $OH = 8$ см.

В этом случае отношение сторон равно $\frac{BC}{DH} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. По условию задачи, меньшее основание равно боковой стороне: $BC = CD$. Обозначим эту длину как $x$. Тогда $BC = x$, и из отношения подобия получаем $DH = \frac{4}{5}BC = \frac{4}{5}x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ (поскольку $CH$ — высота). По теореме Пифагора:$CD^2 = CH^2 + DH^2$

Подставим известные значения:$x^2 = 18^2 + (\frac{4}{5}x)^2$$x^2 = 324 + \frac{16}{25}x^2$$x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 324$$\frac{9}{25}x^2 = 324$$x^2 = \frac{324 \cdot 25}{9} = 36 \cdot 25 = 900$$x = \sqrt{900} = 30$ см.

Итак, меньшее основание $BC = 30$ см. Найдем отрезок $DH = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24$ см. Так как трапеция равнобокая, большее основание $AD$ можно найти по формуле $AD = BC + 2 \cdot DH$.$AD = 30 + 2 \cdot 24 = 30 + 48 = 78$ см. Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{30 + 78}{2} \cdot 18 = \frac{108}{2} \cdot 18 = 54 \cdot 18 = 972$ см².

Случай 2: $CO = 8$ см и $OH = 10$ см.

В этом случае отношение сторон равно $\frac{BC}{DH} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Пусть, как и ранее, $BC = CD = x$. Тогда $DH = \frac{5}{4}BC = \frac{5}{4}x$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle CDH$:$CD^2 = CH^2 + DH^2$$x^2 = 18^2 + (\frac{5}{4}x)^2$$x^2 = 324 + \frac{25}{16}x^2$$x^2 - \frac{25}{16}x^2 = 324$$-\frac{9}{16}x^2 = 324$

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины отрезка ($x^2$) не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно верным является первый случай.

Ответ: 972 см².