Номер 22.87, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22.87, страница 213.

Условие.

22.87. В выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Докажите, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, касаются.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность, он является описанным. Для описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны (согласно теореме Пито):

$AB + CD = BC + AD$

Рассмотрим диагональ $AC$, которая разделяет четырёхугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Пусть $\omega_1$ — окружность, вписанная в $\triangle ABC$, и $\omega_2$ — окружность, вписанная в $\triangle ADC$. Обе эти окружности касаются их общей стороны $AC$.

Для того чтобы доказать, что окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга, достаточно показать, что их точки касания со стороной $AC$ совпадают.

Пусть $T_1$ — точка касания окружности $\omega_1$ со стороной $AC$, а $T_2$ — точка касания окружности $\omega_2$ со стороной $AC$.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности на прилежащей стороне вычисляется по формуле, использующей длины сторон треугольника.

Для $\triangle ABC$ расстояние от вершины $A$ до точки касания $T_1$ на стороне $AC$ равно:

$AT_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$

Для $\triangle ADC$ расстояние от вершины $A$ до точки касания $T_2$ на стороне $AC$ равно:

$AT_2 = \frac{AD + AC - DC}{2}$

Точки $T_1$ и $T_2$ совпадут, если будет выполняться равенство $AT_1 = AT_2$. Проверим это условие:

$\frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{AD + AC - DC}{2}$

Умножим обе части равенства на 2 и вычтем из обеих частей $AC$:

$AB - BC = AD - DC$

Перенеся слагаемые, получим:

$AB + DC = AD + BC$

Это равенство является свойством описанного четырёхугольника, которое, по условию задачи, выполняется. Следовательно, равенство $AT_1 = AT_2$ верно, что означает, что точки касания $T_1$ и $T_2$ совпадают.

Пусть $T$ — их общая точка касания. Так как обе окружности касаются прямой $AC$ в одной и той же точке $T$, они касаются друг друга. Точка $T$ является их точкой касания.

Таким образом, доказано, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, касаются.

Ответ: Утверждение доказано.