Номер 22.92, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.92. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а диагональ — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию задачи имеем: большее основание $AD = 21$ см, меньшее основание $BC = 9$ см, диагональ $AC = 17$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника, образованного ее диагональю и двумя сторонами, например, для треугольника $ACD$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около треугольника $ACD$.

Для нахождения радиуса воспользуемся одним из двух методов. Оба требуют нахождения высоты трапеции.

1. Нахождение высоты и боковой стороны трапеции.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание вычисляется по формуле:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Длина катета $AH$ равна:$AH = AD - HD = 21 - 6 = 15$ см.

По теореме Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Выразим высоту $CH$:$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$.$CH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны $CD$ из прямоугольного треугольника $CHD$:$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Вычисление радиуса описанной окружности.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $ACD$: $AD = 21$ см, $AC = 17$ см, $CD = 10$ см.

Способ I: Через площадь треугольника.

Радиус описанной окружности ($R$) можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника $ACD$ с основанием $AD$ и высотой $CH$ равна:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см².

Подставляем значения в формулу для радиуса:$R = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot S_{ACD}} = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336}$.

Сократим дробь:$R = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{4 \cdot 4 \cdot 21} = \frac{17 \cdot 10}{16} = \frac{17 \cdot 5}{8} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Способ II: Через теорему синусов.

Радиус описанной окружности также находится по формуле $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол. Для треугольника $ACD$ формула примет вид $R = \frac{AC}{2\sin(\angle D)}$.

Синус угла $D$ найдем из прямоугольного треугольника $CHD$:$\sin(\angle D) = \frac{CH}{CD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Теперь вычислим радиус:$R = \frac{17}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{17}{\frac{8}{5}} = 17 \cdot \frac{5}{8} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: 10,625 см.