Номер 22.91, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.91. Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны $10 \text{ см}$, а один из её углов равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$.

По условию, боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, то есть $AB = CD = BC = 10$ см.

В равнобокой трапеции углы при основаниях равны. Так как один из углов равен $60^\circ$, это должен быть острый угол при большем основании, поскольку углы при меньшем основании тупые (их сумма с углами при большем основании равна $180^\circ$).

Следовательно, $\angle DAB = \angle CDA = 60^\circ$.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника, образованного любыми тремя ее вершинами, например, для треугольника $ABD$. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABD$. Для этого нам нужно знать длину одной из его сторон и противолежащего ей угла, либо все три стороны.

1. Найдем длину большего основания $AD$.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$.

Катет $AK$ равен: $AK = AB \cdot \cos(\angle DAB) = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Так как трапеция равнобокая, если провести вторую высоту $CH$, то отрезок $HD$ будет равен $AK$. $HD = 5$ см.

Отрезок $KH$ равен меньшему основанию $BC$, то есть $KH = 10$ см.

Таким образом, большее основание $AD$ равно сумме длин этих отрезков:

$AD = AK + KH + HD = 5 + 10 + 5 = 20$ см.

2. Найдем длину диагонали $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. У нас известны две стороны ($AB = 10$ см, $AD = 20$ см) и угол между ними ($\angle DAB = 60^\circ$). По теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

$BD^2 = 10^2 + 20^2 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = 100 + 400 - 400 \cdot \frac{1}{2} = 500 - 200 = 300$

$BD = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности.

Способ 1: По теореме синусов.

Для треугольника $ABD$ по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = 2R$

Отсюда $R = \frac{BD}{2 \sin(\angle DAB)}$

$R = \frac{10\sqrt{3}}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{10\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$ см.

Способ 2: Через свойства прямоугольного треугольника.

Проверим, не является ли треугольник $ABD$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Его стороны равны $AB = 10$ см, $BD = 10\sqrt{3}$ см, $AD = 20$ см.

$AB^2 + BD^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400$.

$AD^2 = 20^2 = 400$.

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $AD$ и прямым углом $\angle ABD = 90^\circ$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.

$R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 10 см.