Номер 22.93, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.93. Основания трапеции равны 15 см и 36 см, а боковые стороны – 13 см и 20 см. Найдите площадь данной трапеции.

Для нахождения площади трапеции используется формула: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота трапеции.

В нашей задаче даны основания $a = 15$ см и $b = 36$ см, а также боковые стороны $c = 13$ см и $d = 20$ см. Чтобы вычислить площадь, нам необходимо найти высоту $h$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = 36$ см, $BC = 15$ см, и боковыми сторонами $AB = 13$ см и $CD = 20$ см. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$.

Высоты $BH$ и $CK$ равны высоте трапеции $h$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 15$ см. Длина основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$: $AD = AH + HK + KD$. $36 = AH + 15 + KD$. Отсюда, $AH + KD = 36 - 15 = 21$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались: $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Применим к ним теорему Пифагора: 1. В $\triangle ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2 \implies 13^2 = AH^2 + h^2$. Отсюда $h^2 = 169 - AH^2$. 2. В $\triangle CDK$: $CD^2 = KD^2 + CK^2 \implies 20^2 = KD^2 + h^2$. Отсюда $h^2 = 400 - KD^2$.

Так как левые части уравнений равны ($h^2$), мы можем приравнять и правые части: $169 - AH^2 = 400 - KD^2$ $KD^2 - AH^2 = 400 - 169$ $KD^2 - AH^2 = 231$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $(KD - AH)(KD + AH) = 231$. Мы уже знаем, что $KD + AH = 21$ см, подставим это значение: $(KD - AH) \cdot 21 = 231$ $KD - AH = \frac{231}{21} = 11$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $AH$ и $KD$: $\begin{cases} KD + AH = 21 \\ KD - AH = 11 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(KD + AH) + (KD - AH) = 21 + 11 \implies 2 \cdot KD = 32 \implies KD = 16$ см. Подставим значение $KD$ в первое уравнение: $16 + AH = 21 \implies AH = 5$ см.

Теперь мы можем найти высоту $h$ из любого из прямоугольных треугольников. Возьмем $\triangle ABH$: $h^2 = 169 - AH^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. $h = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{15 + 36}{2} \cdot 12 = \frac{51}{2} \cdot 12 = 51 \cdot 6 = 306$ см².

Ответ: 306 см².