Страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.95. Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен $R$.

Пусть трапеция называется $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, окружность построена на $AD$ как на диаметре. Пусть $O$ — центр этой окружности, тогда $O$ является серединой $AD$.

Диаметр окружности равен $AD$. Так как радиус окружности равен $R$, то $AD = 2R$.

Окружность касается меньшего основания $BC$. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до прямой $BC$ равно радиусу $R$. Это расстояние есть не что иное, как высота трапеции $h$. Таким образом, $h = R$.

Поскольку окружность, построенная на основании $AD$, симметрична относительно высоты, проходящей через ее центр $O$, а также касается другого основания $BC$, то трапеция является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Окружность пересекает боковые стороны и делит их пополам. Рассмотрим боковую сторону $CD$. Пусть точка $N$ — середина стороны $CD$. По условию, точка $N$ лежит на окружности.

Введем систему координат с центром в точке $O(0,0)$. Ось абсцисс направим вдоль основания $AD$. Тогда вершины $A$ и $D$ имеют координаты $A(-R, 0)$ и $D(R, 0)$.

Поскольку высота трапеции равна $R$, прямая, содержащая основание $BC$, задается уравнением $y=R$. Обозначим длину меньшего основания $BC$ через $b$. В силу симметрии трапеции относительно оси ординат, вершины $B$ и $C$ будут иметь координаты $B(-b/2, R)$ и $C(b/2, R)$.

Найдем координаты точки $N$ — середины отрезка $CD$. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

$C(\frac{b}{2}, R)$ и $D(R, 0)$.

$x_N = \frac{\frac{b}{2} + R}{2} = \frac{b+2R}{4}$

$y_N = \frac{R + 0}{2} = \frac{R}{2}$

Таким образом, точка $N$ имеет координаты $N(\frac{2R+b}{4}, \frac{R}{2})$.

По условию, точка $N$ лежит на окружности. Уравнение нашей окружности с центром в начале координат и радиусом $R$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Подставим координаты точки $N$ в это уравнение:

$(\frac{2R+b}{4})^2 + (\frac{R}{2})^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $b$:

$\frac{(2R+b)^2}{16} + \frac{R^2}{4} = R^2$

$\frac{4R^2 + 4Rb + b^2}{16} + \frac{4R^2}{16} = \frac{16R^2}{16}$

$4R^2 + 4Rb + b^2 + 4R^2 = 16R^2$

$b^2 + 4Rb + 8R^2 - 16R^2 = 0$

$b^2 + 4Rb - 8R^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем его корни по формуле:

$b = \frac{-4R \pm \sqrt{(4R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8R^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4R \pm \sqrt{16R^2 + 32R^2}}{2} = \frac{-4R \pm \sqrt{48R^2}}{2}$

$b = \frac{-4R \pm \sqrt{16 \cdot 3 \cdot R^2}}{2} = \frac{-4R \pm 4R\sqrt{3}}{2} = -2R \pm 2R\sqrt{3}$

Так как длина основания $b$ должна быть положительной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$b = -2R + 2R\sqrt{3} = 2R(\sqrt{3} - 1)$

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, значение $b$ положительно.

Ответ: $2R(\sqrt{3} - 1)$.

22.96. В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если $AC = 17$ см, а высота трапеции равна 8 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, диагонали $AC \perp BD$, длина диагонали $AC = 17$ см, а высота трапеции $h = 8$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся дополнительным построением. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых (основания трапеции и их продолжение). Стороны $BD$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC$ и $CE = BD$.

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.

Рассмотрим треугольник $ACE$. Его основание $AE = AD + DE$. Так как $DE = BC$, то $AE = AD + BC$. Высота треугольника $ACE$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AE$, совпадает с высотой трапеции $h$. Площадь треугольника $ACE$ равна:$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.

Таким образом, площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$: $S_{ABCD} = S_{ACE}$.

Используем условие перпендикулярности диагоналей. Так как $AC \perp BD$ и $CE || BD$, то из этого следует, что $AC \perp CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном треугольнике $ACE$ нам известны катет $AC = 17$ см и высота, проведенная к гипотенузе $AE$, которая равна высоте трапеции $h = 8$ см. Второй катет $CE$ по длине равен диагонали $BD$.

В прямоугольном треугольнике существует соотношение между катетами ($a, b$) и высотой, проведенной к гипотенузе ($h_c$):$\frac{1}{h_c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.

Применим эту формулу к треугольнику $ACE$, где $a = AC = 17$, $h_c = h = 8$, а $b = CE$:$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{CE^2}$$\frac{1}{8^2} = \frac{1}{17^2} + \frac{1}{CE^2}$$\frac{1}{64} = \frac{1}{289} + \frac{1}{CE^2}$

Выразим $\frac{1}{CE^2}$:$\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{64} - \frac{1}{289} = \frac{289 - 64}{64 \cdot 289} = \frac{225}{64 \cdot 289}$.

Отсюда находим $CE^2$:$CE^2 = \frac{64 \cdot 289}{225}$. Тогда длина катета $CE$ равна:$CE = \sqrt{\frac{64 \cdot 289}{225}} = \frac{\sqrt{64} \cdot \sqrt{289}}{\sqrt{225}} = \frac{8 \cdot 17}{15} = \frac{136}{15}$ см.

Так как $CE = BD$, мы нашли длину второй диагонали: $BD = \frac{136}{15}$ см.

Площадь четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения их длин. Поэтому площадь трапеции $ABCD$ можно найти по формуле:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Подставим известные значения:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot \frac{136}{15} = \frac{17 \cdot 68}{15} = \frac{1156}{15}$ см$^2$.

Результат можно представить в виде смешанной дроби: $\frac{1156}{15} = 77 \frac{1}{15}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1156}{15}$ см$^2$.

22.97. Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника, равны.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. По условию его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Обозначим середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно. Требуется доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$, соединяющие середины противолежащих сторон, равны, то есть $MP = NQ$.

Для доказательства рассмотрим четырёхугольник $MNPQ$, образованный последовательным соединением середин сторон исходного четырёхугольника.

1. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MN$ параллелен стороне $AC$ и равен её половине:$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно, $QP$ параллелен стороне $AC$ и равен её половине:$QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2} AC$.

Из пунктов 1 и 2 следует, что $MN \parallel QP$ и $MN = QP$. По признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны), четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Этот факт известен как теорема Вариньона.

3. Теперь рассмотрим другую пару сторон. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ$ параллелен стороне $BD$:$MQ \parallel BD$.

Таким образом, мы установили, что стороны параллелограмма $MNPQ$ параллельны диагоналям исходного четырёхугольника $ABCD$:$MN \parallel AC$$MQ \parallel BD$

По условию задачи диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($AC \perp BD$). Поскольку прямые, параллельные перпендикулярным прямым, также взаимно перпендикулярны, то стороны $MN$ и $MQ$ параллелограмма $MNPQ$ также перпендикулярны: $MN \perp MQ$.

Это означает, что угол $\angle NMQ$ является прямым, то есть $\angle NMQ = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ — это прямоугольник.

Отрезки $MP$ и $NQ$, равенство которых требуется доказать, являются диагоналями этого прямоугольника $MNPQ$. Согласно свойству прямоугольника, его диагонали равны между собой.

Отсюда следует, что $MP = NQ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны.

22.98. В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырехугольник. Обозначим середины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, это $MP$ и $NQ$. По условию задачи, длины этих отрезков равны: $MP = NQ$.

Рассмотрим четырехугольник $MNPQ$, образованный последовательным соединением середин сторон четырехугольника $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией. По свойству средней линии, $MN$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно, $QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.

Поскольку отрезки $MN$ и $QP$ параллельны одной и той же прямой $AC$ и равны по длине, то $MN \parallel QP$ и $MN = QP$.

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, $MNPQ$ — это параллелограмм (известный как параллелограмм Вариньона).

Отрезки $MP$ и $NQ$ являются диагоналями этого параллелограмма. По условию задачи дано, что их длины равны: $MP = NQ$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник $MNPQ$ — это прямоугольник.

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, в частности, $MN \perp MQ$.

Теперь установим связь между сторонами прямоугольника $MNPQ$ и диагоналями исходного четырехугольника $ABCD$. Мы уже показали, что $MN \parallel AC$.

Рассмотрим сторону $MQ$. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ \parallel BD$.

Итак, мы имеем следующие соотношения: $MN \parallel AC$, $MQ \parallel BD$ и $MN \perp MQ$. Поскольку прямые $AC$ и $BD$ соответственно параллельны перпендикулярным прямым $MN$ и $MQ$, то они также перпендикулярны друг другу. Следовательно, $AC \perp BD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

22.99. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $a$ и $b$. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырёхугольника.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, длины диагоналей которого равны $a$ и $b$. Обозначим вершины четырёхугольника как A, B, C, D, а середины его сторон AB, BC, CD, DA как M, N, P, Q соответственно.

Рассмотрим четырёхугольник MNPQ, образованный соединением середин сторон исходного четырёхугольника. По теореме Вариньона, этот четырёхугольник является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половинам. Так, сторона MN параллельна диагонали AC и равна $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$. Сторона MQ параллельна диагонали BD и равна $MQ = \frac{1}{2}BD = \frac{b}{2}$.

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон исходного четырёхугольника, то есть MP и NQ, являются диагоналями параллелограмма MNPQ. По условию задачи, эти отрезки равны: $MP = NQ$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, MNPQ — это прямоугольник. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, то есть $MN \perp MQ$.

Так как $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$, то из перпендикулярности сторон $MN$ и $MQ$ следует, что диагонали исходного четырёхугольника $AC$ и $BD$ также перпендикулярны. Угол между ними составляет $90^\circ$.

Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. Подставляя наши значения $d_1=a$, $d_2=b$ и $\alpha=90^\circ$, получаем:

$S = \frac{1}{2}ab \sin 90^\circ = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{ab}{2}$.

Ответ: $\frac{ab}{2}$

22.100. Найдите диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$, если около него можно описать окружность и $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

Поскольку около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна 180°. Следовательно, $\angle B + \angle D = 180°$.

Рассмотрим диагональ $AC$, которая делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Мы можем найти квадрат длины этой диагонали, применив теорему косинусов к каждому из этих треугольников.

Для треугольника $\triangle ABC$ по теореме косинусов имеем:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставляем известные значения $AB = 3$ см и $BC = 4$ см:

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 9 + 16 - 24 \cos(\angle B)$

$AC^2 = 25 - 24 \cos(\angle B)$ (1)

Для треугольника $\triangle ADC$ по теореме косинусов имеем:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставляем известные значения $AD = 6$ см и $CD = 5$ см:

$AC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 36 + 25 - 60 \cos(\angle D)$

$AC^2 = 61 - 60 \cos(\angle D)$ (2)

Используем свойство вписанного четырехугольника: $\angle B + \angle D = 180°$. Отсюда следует, что $\cos(\angle D) = \cos(180° - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$AC^2 = 61 - 60(-\cos(\angle B))$

$AC^2 = 61 + 60 \cos(\angle B)$ (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными $AC^2$ и $\cos(\angle B)$. Приравняем правые части этих уравнений, чтобы найти значение $\cos(\angle B)$:

$25 - 24 \cos(\angle B) = 61 + 60 \cos(\angle B)$

$25 - 61 = 60 \cos(\angle B) + 24 \cos(\angle B)$

$-36 = 84 \cos(\angle B)$

$\cos(\angle B) = -\frac{36}{84} = -\frac{3 \cdot 12}{7 \cdot 12} = -\frac{3}{7}$

Теперь, когда мы нашли $\cos(\angle B)$, подставим его значение в любое из уравнений для $AC^2$, например, в уравнение (1):

$AC^2 = 25 - 24 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)$

$AC^2 = 25 + \frac{72}{7}$

$AC^2 = \frac{25 \cdot 7}{7} + \frac{72}{7}$

$AC^2 = \frac{175 + 72}{7}$

$AC^2 = \frac{247}{7}$

Отсюда находим длину диагонали $AC$:

$AC = \sqrt{\frac{247}{7}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{247}{7}}$ см.

22.101. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. Известно, что $AB = 10$ см, $BC = 12$ см, $CD = 18$ см, $DA = 8$ см. Найдите угол $ADC$.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

По условию задачи, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. Обозначим $\angle BCA = \angle DCA = \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, чтобы выразить косинус угла $\alpha$ через длину диагонали $AC$ и длины известных сторон.

В треугольнике $\triangle ABC$ по теореме косинусов для стороны $AB$ имеем:
$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Подставим известные значения: $AB = 10$, $BC = 12$.
$10^2 = 12^2 + AC^2 - 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
$100 = 144 + AC^2 - 24 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$:
$24 \cdot AC \cdot \cos(\alpha) = AC^2 + 44$
$\cos(\alpha) = \frac{AC^2 + 44}{24 \cdot AC}$

Аналогично в треугольнике $\triangle ADC$ по теореме косинусов для стороны $AD$ имеем:
$AD^2 = CD^2 + AC^2 - 2 \cdot CD \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Подставим известные значения: $AD = 8$, $CD = 18$.
$8^2 = 18^2 + AC^2 - 2 \cdot 18 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
$64 = 324 + AC^2 - 36 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$:
$36 \cdot AC \cdot \cos(\alpha) = AC^2 + 260$
$\cos(\alpha) = \frac{AC^2 + 260}{36 \cdot AC}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\cos(\alpha)$, чтобы найти квадрат длины диагонали $AC^2$:
$\frac{AC^2 + 44}{24 \cdot AC} = \frac{AC^2 + 260}{36 \cdot AC}$
Поскольку $AC \neq 0$, мы можем сократить на $AC$. Умножим обе части на $72$ (наименьшее общее кратное чисел 24 и 36):
$3(AC^2 + 44) = 2(AC^2 + 260)$
$3AC^2 + 132 = 2AC^2 + 520$
$3AC^2 - 2AC^2 = 520 - 132$
$AC^2 = 388$

Для нахождения искомого угла $ADC$ снова воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle ADC$, но на этот раз для стороны $AC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
Подставим известные длины сторон и найденное значение $AC^2$:
$388 = 8^2 + 18^2 - 2 \cdot 8 \cdot 18 \cdot \cos(\angle ADC)$
$388 = 64 + 324 - 288 \cdot \cos(\angle ADC)$
$388 = 388 - 288 \cdot \cos(\angle ADC)$
Из этого уравнения следует, что:
$288 \cdot \cos(\angle ADC) = 0$
$\cos(\angle ADC) = 0$

Так как $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, угол $ADC$ должен быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом интервале, косинус которого равен нулю, — это $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

22.102. Из точки $M$, которая движется по окружности, опускают перпендикуляры на фиксированные диаметры $AB$ и $DC$. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точки $M$.

Пусть $O$ - центр окружности, а $R$ - её радиус. Пусть $M$ - произвольная точка на окружности. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ$ на фиксированные диаметры $AB$ и $DC$ соответственно. По построению, $P$ - основание перпендикуляра на $AB$, а $Q$ - основание перпендикуляра на $DC$. Это означает, что углы $\angle MPO$ и $\angle MQO$ являются прямыми, то есть $\angle MPO = 90^\circ$ и $\angle MQO = 90^\circ$.

Рассмотрим четыре точки: $O$, $P$, $M$ и $Q$. Поскольку отрезок $OM$ виден из точек $P$ и $Q$ под прямым углом, эти четыре точки лежат на одной окружности, для которой отрезок $OM$ является диаметром.

Длина диаметра этой новой окружности равна длине отрезка $OM$. Так как точка $M$ движется по исходной окружности с центром $O$ и радиусом $R$, то длина $OM$ всегда равна $R$.

Отрезок $PQ$ является хордой в окружности, построенной на диаметре $OM$. Длину этой хорды можно найти по теореме синусов для треугольника $POQ$, который вписан в эту окружность: $$ \frac{PQ}{\sin(\angle POQ)} = OM $$ Отсюда следует, что длина отрезка $PQ$ равна: $$ PQ = OM \cdot \sin(\angle POQ) $$

Подставляя $OM = R$, получаем: $$ PQ = R \cdot \sin(\angle POQ) $$

Теперь рассмотрим угол $\angle POQ$. Точка $P$ лежит на прямой, содержащей диаметр $AB$, а точка $Q$ лежит на прямой, содержащей диаметр $DC$. Следовательно, угол $\angle POQ$ является углом между прямыми $AB$ и $DC$.

По условию задачи диаметры $AB$ и $DC$ фиксированы. Это означает, что угол между ними является постоянной величиной. Обозначим этот угол как $\alpha$. В зависимости от расположения точек $P$ и $Q$ на диаметрах, угол $\angle POQ$ может быть равен $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$. Однако, поскольку $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$, значение $\sin(\angle POQ)$ всегда будет одним и тем же и равным $\sin(\alpha)$.

Таким образом, длина отрезка $PQ$ равна постоянной величине: $$ PQ = R \sin(\alpha) $$ Эта величина зависит только от радиуса окружности $R$ и угла $\alpha$ между фиксированными диаметрами, и совершенно не зависит от положения точки $M$ на окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точки $M$.

22.103. Внутри угла $AOB$ отметили точку $M$, проекциями которой на прямые $OA$ и $OB$ являются точки $M_1$ и $M_2$. Докажите, что $M_1M_2 \le OM$.

Пусть $M_1$ и $M_2$ — проекции точки $M$ на прямые $OA$ и $OB$ соответственно. По определению проекции, $MM_1 \perp OA$ и $MM_2 \perp OB$. Это означает, что треугольники $\triangle OM_1M$ и $\triangle OM_2M$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершинах $M_1$ и $M_2$ соответственно:
$\angle OM_1M = 90^\circ$ и $\angle OM_2M = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OM_1MM_2$. Сумма его противоположных углов $\angle OM_1M$ и $\angle OM_2M$ равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Согласно свойству вписанного четырехугольника, если сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность.

Таким образом, точки $O$, $M_1$, $M$ и $M_2$ лежат на одной окружности.

В этой окружности угол $\angle OM_1M$ является вписанным и опирается на отрезок $OM$. Поскольку $\angle OM_1M = 90^\circ$, отрезок $OM$ является диаметром этой окружности.

Отрезок $M_1M_2$ соединяет две точки ($M_1$ и $M_2$) на этой же окружности, следовательно, $M_1M_2$ является хордой данной окружности.

В любой окружности диаметр является самой длинной хордой. Поэтому длина хорды $M_1M_2$ не может быть больше длины диаметра $OM$.
Следовательно, $M_1M_2 \le OM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $M_1M_2 \le OM$ доказано.

22.104. На стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ найдите такую точку, чтобы расстояние между её проекциями на две другие стороны было наименьшим.

Пусть $M$ — произвольная точка на стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $P$ и $Q$ — проекции точки $M$ на стороны $AB$ и $BC$ соответственно. Это означает, что $MP \perp AB$ и $MQ \perp BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BPMQ$. В этом четырехугольнике углы $\angle BPM$ и $\angle BQM$ являются прямыми по определению проекции ($\angle BPM = 90^\circ$ и $\angle BQM = 90^\circ$).

Рассмотрим отрезок $BM$ как диаметр окружности. Поскольку из точек $P$ и $Q$ отрезок $BM$ виден под прямым углом, обе эти точки лежат на окружности с диаметром $BM$. Таким образом, точки $B$, $P$, $M$, $Q$ лежат на одной окружности.

В этой окружности отрезок $PQ$ является хордой. По следствию из теоремы синусов для треугольника $PBQ$, вписанного в эту окружность, мы имеем:$PQ = d \cdot \sin(\angle PBQ)$, где $d$ — диаметр окружности.

Диаметром нашей окружности является отрезок $BM$, а угол $\angle PBQ$ — это угол $\angle ABC$ исходного треугольника (обозначим его как $\angle B$).Следовательно, мы можем записать формулу для длины отрезка $PQ$:

$PQ = BM \cdot \sin(\angle B)$

В этом выражении величина $\sin(\angle B)$ является постоянной для данного треугольника $ABC$. Следовательно, чтобы минимизировать длину $PQ$, необходимо минимизировать длину отрезка $BM$.

Точка $B$ является фиксированной вершиной треугольника, а точка $M$ может перемещаться по стороне $AC$. Наименьшее расстояние от точки $B$ до прямой, содержащей отрезок $AC$, — это длина перпендикуляра (высоты), опущенного из точки $B$ на эту прямую. Таким образом, длина $BM$ будет наименьшей, когда отрезок $BM$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.

Так как по условию треугольник $ABC$ является остроугольным, основание высоты, проведенной из вершины $B$, будет лежать именно на стороне $AC$.

Ответ: Искомая точка — это основание высоты треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.

22.105. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Из произвольной точки $M$ окружности проведены перпендикуляры $MN$ и $MK$ к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите положение точки $M$, для которого длина отрезка $NK$ является наибольшей.

Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины треугольника, а $\omega$ — описанная около него окружность. Пусть $M$ — произвольная точка на окружности $\omega$. По условию, из точки $M$ проведены перпендикуляры $MN$ к прямой $AB$ ($N \in AB$) и $MK$ к прямой $AC$ ($K \in AC$). Это означает, что $\angle MNA = 90^\circ$ и $\angle MKA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ANMK$. Углы $\angle ANM$ и $\angle AKM$ являются прямыми. Точки $N$ и $K$ лежат на окружности, диаметром которой является отрезок $AM$, так как из этих точек отрезок $AM$ виден под прямым углом.

Треугольник $ANK$ вписан в эту же окружность с диаметром $AM$. По следствию из теоремы синусов (обобщенной теореме синусов), отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Для треугольника $ANK$ это соотношение выглядит так:$ \frac{NK}{\sin(\angle NAK)} = AM $

Угол $\angle NAK$ совпадает с углом $\angle BAC$ треугольника $ABC$. Обозначим его как $\alpha$. Тогда $\angle NAK = \angle BAC = \alpha$. Выразим длину отрезка $NK$ из формулы выше:$ NK = AM \cdot \sin(\angle NAK) = AM \cdot \sin(\alpha) $

Поскольку треугольник $ABC$ задан, то угол $\alpha$ является постоянной величиной, а значит, и $\sin(\alpha)$ — константа (при условии, что $\alpha \neq 0$ и $\alpha \neq 180^\circ$, что выполняется для невырожденного треугольника).

Из полученной формулы видно, что длина отрезка $NK$ прямо пропорциональна длине отрезка $AM$. Следовательно, чтобы длина $NK$ была наибольшей, необходимо, чтобы длина отрезка $AM$ была наибольшей.

Точка $A$ является фиксированной вершиной треугольника, лежащей на описанной окружности. Точка $M$ также перемещается по этой окружности. Отрезок $AM$ — это хорда данной окружности. Наибольшее значение длина хорды, проходящей через фиксированную точку на окружности, принимает тогда, когда эта хорда является диаметром.

Таким образом, $AM$ будет иметь наибольшую длину, когда $M$ — это точка на описанной окружности, диаметрально противоположная вершине $A$.

Ответ: Точка $M$ должна быть диаметрально противоположна вершине $A$ на описанной окружности треугольника $ABC$.

22.106. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$ и $CC_1$. Известно, что $\angle AA_1C = \angle CC_1A$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Медианы, проведенные к этим сторонам, равны $AA_1 = m_a$ и $CC_1 = m_c$. Точки $A_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$ и $AB$ соответственно, поэтому $A_1C = a/2$ и $AC_1 = c/2$. По условию задачи, $\angle AA_1C = \angle CC_1A$. Обозначим этот угол как $\theta$.

Доказательство можно провести, комбинируя теоремы синусов и косинусов.

1. Применение теоремы синусов

Пусть медианы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$. Применив теорему синусов к $\triangle AA_1C$, получаем:$\frac{A_1C}{\sin(\angle CAA_1)} = \frac{AC}{\sin(\angle AA_1C)} \implies \frac{a/2}{\sin(\angle CAA_1)} = \frac{b}{\sin\theta}$

Применив теорему синусов к $\triangle CC_1A$, получаем:$\frac{AC_1}{\sin(\angle ACC_1)} = \frac{AC}{\sin(\angle CC_1A)} \implies \frac{c/2}{\sin(\angle ACC_1)} = \frac{b}{\sin\theta}$

Так как правые части обоих выражений равны, равны и левые:$\frac{a/2}{\sin(\angle CAA_1)} = \frac{c/2}{\sin(\angle ACC_1)} \implies a \cdot \sin(\angle ACC_1) = c \cdot \sin(\angle CAA_1)$.

Теперь применим теорему синусов к $\triangle AOC$, где $O$ - точка пересечения медиан, $\angle OAC = \angle CAA_1$ и $\angle OCA = \angle ACC_1$:$\frac{CO}{\sin(\angle OAC)} = \frac{AO}{\sin(\angle OCA)} \implies \frac{\sin(\angle OAC)}{\sin(\angle OCA)} = \frac{CO}{AO}$.

По свойству медиан, $AO = \frac{2}{3}m_a$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $\frac{CO}{AO} = \frac{m_c}{m_a}$. Из двух последних выражений получаем $\frac{\sin(\angle CAA_1)}{\sin(\angle ACC_1)} = \frac{m_c}{m_a}$, или $m_a \sin(\angle CAA_1) = m_c \sin(\angle ACC_1)$.

У нас есть система двух уравнений:1) $a \cdot \sin(\angle ACC_1) = c \cdot \sin(\angle CAA_1)$2) $m_c \cdot \sin(\angle ACC_1) = m_a \cdot \sin(\angle CAA_1)$

Разделив первое уравнение на второе (при условии, что синусы и длины медиан не равны нулю), получим:$\frac{a}{m_c} = \frac{c}{m_a} \implies a \cdot m_a = c \cdot m_c$.

Возведем обе части в квадрат: $a^2 m_a^2 = c^2 m_c^2$. Подставим формулы для квадратов длин медиан: $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ и $m_c^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$.$a^2 \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} = c^2 \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$$2a^2b^2+2a^2c^2-a^4 = 2c^2a^2+2c^2b^2-c^4$$2a^2b^2-a^4 = 2c^2b^2-c^4$$c^4-a^4 = 2c^2b^2-2a^2b^2$$(c^2-a^2)(c^2+a^2) = 2b^2(c^2-a^2)$$(c^2-a^2)(c^2+a^2 - 2b^2) = 0$.

Это равенство означает, что либо $c^2-a^2=0$ (то есть $c=a$), либо $c^2+a^2-2b^2=0$.

2. Применение теоремы косинусов

Применим теорему косинусов к тем же треугольникам $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$ для стороны $AC=b$:$b^2 = m_a^2 + (a/2)^2 - 2 m_a (a/2) \cos\theta \implies b^2 = m_a^2 + a^2/4 - a m_a \cos\theta$$b^2 = m_c^2 + (c/2)^2 - 2 m_c (c/2) \cos\theta \implies b^2 = m_c^2 + c^2/4 - c m_c \cos\theta$

Приравнивая правые части, получаем:$m_a^2 + a^2/4 - a m_a \cos\theta = m_c^2 + c^2/4 - c m_c \cos\theta$$m_a^2 - m_c^2 + \frac{a^2-c^2}{4} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$.

Подставим в левую часть выражение для разности квадратов медиан $m_a^2 - m_c^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2 - (2a^2+2b^2-c^2)}{4} = \frac{3c^2-3a^2}{4}$:$\frac{3c^2-3a^2}{4} + \frac{a^2-c^2}{4} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$$\frac{2c^2-2a^2}{4} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$$\frac{c^2-a^2}{2} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$.

3. Анализ результатов

Из части 1 мы получили, что должно выполняться хотя бы одно из двух условий:1) $c=a$. В этом случае треугольник $ABC$ равнобедренный.2) $c^2+a^2-2b^2=0$, то есть $2b^2=a^2+c^2$.

Рассмотрим второй случай. Пусть $c \neq a$, и при этом $2b^2=a^2+c^2$. Если $2b^2=a^2+c^2$, то, как мы выяснили в части 1, это приводит к равенству $a \cdot m_a = c \cdot m_c$. Подставим это условие ($a m_a = c m_c$) в уравнение, полученное в части 2:$\frac{c^2-a^2}{2} = (c m_c - c m_c)\cos\theta$$\frac{c^2-a^2}{2} = 0 \cdot \cos\theta = 0$. Отсюда следует, что $c^2-a^2=0$, то есть $c=a$. Это противоречит нашему предположению, что $c \neq a$.

Таким образом, второй случай ($2b^2=a^2+c^2$) возможен только тогда, когда он совпадает с первым ($c=a$). Следовательно, из начального условия задачи однозначно следует, что $c=a$.

Так как стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны, то треугольник является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

22.107. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили произвольную точку $M$. Из точки $M$ опустили перпендикуляр $MN$ на гипотенузу $AB$. Докажите, что $\angle ANC = \angle AMC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Точка $M$ лежит на катете $BC$, а точка $N$ — на гипотенузе $AB$.

Рассмотрим четырехугольник $ANMC$.

По условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Так как точка $M$ принадлежит отрезку $BC$, то угол $\angle ACM$ совпадает с углом $\angle ACB$. Таким образом, $\angle ACM = 90^\circ$.

По условию, из точки $M$ на гипотенузу $AB$ опущен перпендикуляр $MN$. Это означает, что $MN \perp AB$, и, следовательно, $\angle MNA = 90^\circ$.

В четырехугольнике $ANMC$ углы $\angle ACM$ и $\angle ANM$ являются противолежащими. Найдем их сумму:

$\angle ACM + \angle ANM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, если сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, точки $A$, $N$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности.

Углы $\angle ANC$ и $\angle AMC$ являются вписанными в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу $AC$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, $\angle ANC = \angle AMC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.