Номер 22.101, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.101. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. Известно, что $AB = 10$ см, $BC = 12$ см, $CD = 18$ см, $DA = 8$ см. Найдите угол $ADC$.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

По условию задачи, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. Обозначим $\angle BCA = \angle DCA = \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, чтобы выразить косинус угла $\alpha$ через длину диагонали $AC$ и длины известных сторон.

В треугольнике $\triangle ABC$ по теореме косинусов для стороны $AB$ имеем:
$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Подставим известные значения: $AB = 10$, $BC = 12$.
$10^2 = 12^2 + AC^2 - 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
$100 = 144 + AC^2 - 24 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$:
$24 \cdot AC \cdot \cos(\alpha) = AC^2 + 44$
$\cos(\alpha) = \frac{AC^2 + 44}{24 \cdot AC}$

Аналогично в треугольнике $\triangle ADC$ по теореме косинусов для стороны $AD$ имеем:
$AD^2 = CD^2 + AC^2 - 2 \cdot CD \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Подставим известные значения: $AD = 8$, $CD = 18$.
$8^2 = 18^2 + AC^2 - 2 \cdot 18 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
$64 = 324 + AC^2 - 36 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$
Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$:
$36 \cdot AC \cdot \cos(\alpha) = AC^2 + 260$
$\cos(\alpha) = \frac{AC^2 + 260}{36 \cdot AC}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\cos(\alpha)$, чтобы найти квадрат длины диагонали $AC^2$:
$\frac{AC^2 + 44}{24 \cdot AC} = \frac{AC^2 + 260}{36 \cdot AC}$
Поскольку $AC \neq 0$, мы можем сократить на $AC$. Умножим обе части на $72$ (наименьшее общее кратное чисел 24 и 36):
$3(AC^2 + 44) = 2(AC^2 + 260)$
$3AC^2 + 132 = 2AC^2 + 520$
$3AC^2 - 2AC^2 = 520 - 132$
$AC^2 = 388$

Для нахождения искомого угла $ADC$ снова воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle ADC$, но на этот раз для стороны $AC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
Подставим известные длины сторон и найденное значение $AC^2$:
$388 = 8^2 + 18^2 - 2 \cdot 8 \cdot 18 \cdot \cos(\angle ADC)$
$388 = 64 + 324 - 288 \cdot \cos(\angle ADC)$
$388 = 388 - 288 \cdot \cos(\angle ADC)$
Из этого уравнения следует, что:
$288 \cdot \cos(\angle ADC) = 0$
$\cos(\angle ADC) = 0$

Так как $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, угол $ADC$ должен быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом интервале, косинус которого равен нулю, — это $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.