Номер 22.106, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.106. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$ и $CC_1$. Известно, что $\angle AA_1C = \angle CC_1A$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Медианы, проведенные к этим сторонам, равны $AA_1 = m_a$ и $CC_1 = m_c$. Точки $A_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$ и $AB$ соответственно, поэтому $A_1C = a/2$ и $AC_1 = c/2$. По условию задачи, $\angle AA_1C = \angle CC_1A$. Обозначим этот угол как $\theta$.

Доказательство можно провести, комбинируя теоремы синусов и косинусов.

1. Применение теоремы синусов

Пусть медианы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$. Применив теорему синусов к $\triangle AA_1C$, получаем:$\frac{A_1C}{\sin(\angle CAA_1)} = \frac{AC}{\sin(\angle AA_1C)} \implies \frac{a/2}{\sin(\angle CAA_1)} = \frac{b}{\sin\theta}$

Применив теорему синусов к $\triangle CC_1A$, получаем:$\frac{AC_1}{\sin(\angle ACC_1)} = \frac{AC}{\sin(\angle CC_1A)} \implies \frac{c/2}{\sin(\angle ACC_1)} = \frac{b}{\sin\theta}$

Так как правые части обоих выражений равны, равны и левые:$\frac{a/2}{\sin(\angle CAA_1)} = \frac{c/2}{\sin(\angle ACC_1)} \implies a \cdot \sin(\angle ACC_1) = c \cdot \sin(\angle CAA_1)$.

Теперь применим теорему синусов к $\triangle AOC$, где $O$ - точка пересечения медиан, $\angle OAC = \angle CAA_1$ и $\angle OCA = \angle ACC_1$:$\frac{CO}{\sin(\angle OAC)} = \frac{AO}{\sin(\angle OCA)} \implies \frac{\sin(\angle OAC)}{\sin(\angle OCA)} = \frac{CO}{AO}$.

По свойству медиан, $AO = \frac{2}{3}m_a$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $\frac{CO}{AO} = \frac{m_c}{m_a}$. Из двух последних выражений получаем $\frac{\sin(\angle CAA_1)}{\sin(\angle ACC_1)} = \frac{m_c}{m_a}$, или $m_a \sin(\angle CAA_1) = m_c \sin(\angle ACC_1)$.

У нас есть система двух уравнений:1) $a \cdot \sin(\angle ACC_1) = c \cdot \sin(\angle CAA_1)$2) $m_c \cdot \sin(\angle ACC_1) = m_a \cdot \sin(\angle CAA_1)$

Разделив первое уравнение на второе (при условии, что синусы и длины медиан не равны нулю), получим:$\frac{a}{m_c} = \frac{c}{m_a} \implies a \cdot m_a = c \cdot m_c$.

Возведем обе части в квадрат: $a^2 m_a^2 = c^2 m_c^2$. Подставим формулы для квадратов длин медиан: $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ и $m_c^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$.$a^2 \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} = c^2 \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$$2a^2b^2+2a^2c^2-a^4 = 2c^2a^2+2c^2b^2-c^4$$2a^2b^2-a^4 = 2c^2b^2-c^4$$c^4-a^4 = 2c^2b^2-2a^2b^2$$(c^2-a^2)(c^2+a^2) = 2b^2(c^2-a^2)$$(c^2-a^2)(c^2+a^2 - 2b^2) = 0$.

Это равенство означает, что либо $c^2-a^2=0$ (то есть $c=a$), либо $c^2+a^2-2b^2=0$.

2. Применение теоремы косинусов

Применим теорему косинусов к тем же треугольникам $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$ для стороны $AC=b$:$b^2 = m_a^2 + (a/2)^2 - 2 m_a (a/2) \cos\theta \implies b^2 = m_a^2 + a^2/4 - a m_a \cos\theta$$b^2 = m_c^2 + (c/2)^2 - 2 m_c (c/2) \cos\theta \implies b^2 = m_c^2 + c^2/4 - c m_c \cos\theta$

Приравнивая правые части, получаем:$m_a^2 + a^2/4 - a m_a \cos\theta = m_c^2 + c^2/4 - c m_c \cos\theta$$m_a^2 - m_c^2 + \frac{a^2-c^2}{4} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$.

Подставим в левую часть выражение для разности квадратов медиан $m_a^2 - m_c^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2 - (2a^2+2b^2-c^2)}{4} = \frac{3c^2-3a^2}{4}$:$\frac{3c^2-3a^2}{4} + \frac{a^2-c^2}{4} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$$\frac{2c^2-2a^2}{4} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$$\frac{c^2-a^2}{2} = (a m_a - c m_c)\cos\theta$.

3. Анализ результатов

Из части 1 мы получили, что должно выполняться хотя бы одно из двух условий:1) $c=a$. В этом случае треугольник $ABC$ равнобедренный.2) $c^2+a^2-2b^2=0$, то есть $2b^2=a^2+c^2$.

Рассмотрим второй случай. Пусть $c \neq a$, и при этом $2b^2=a^2+c^2$. Если $2b^2=a^2+c^2$, то, как мы выяснили в части 1, это приводит к равенству $a \cdot m_a = c \cdot m_c$. Подставим это условие ($a m_a = c m_c$) в уравнение, полученное в части 2:$\frac{c^2-a^2}{2} = (c m_c - c m_c)\cos\theta$$\frac{c^2-a^2}{2} = 0 \cdot \cos\theta = 0$. Отсюда следует, что $c^2-a^2=0$, то есть $c=a$. Это противоречит нашему предположению, что $c \neq a$.

Таким образом, второй случай ($2b^2=a^2+c^2$) возможен только тогда, когда он совпадает с первым ($c=a$). Следовательно, из начального условия задачи однозначно следует, что $c=a$.

Так как стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны, то треугольник является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.