Страница 220 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.169. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника $ABCD$, изображённого на рисунке 22.8, является четырёхугольник $MNKP$.

Рис. 22.8

Для того чтобы определить вид движения, преобразующего четырехугольник ABCD в MNKP, необходимо сначала проанализировать свойства этих фигур.

Введем прямоугольную систему координат, приняв узел сетки, в котором расположена вершина A, за начало координат (0, 0). Размер одной клетки сетки примем за единицу.

Координаты вершин четырехугольника ABCD:

• A(0, 0)
• B(1, 2)
• C(3, 2)
• D(3, 0)

Координаты вершин четырехугольника MNKP:

• M(5, 2)
• N(7, 0)
• K(4, 0)
• P(4, 2)

Движение (изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния. Следовательно, если четырехугольник MNKP является образом ABCD при некотором движении, то эти четырехугольники должны быть конгруэнтны (равны), то есть иметь соответственно равные стороны.

Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD:

• $AD = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3$
• $DC = \sqrt{(3-3)^2 + (2-0)^2} = 2$
• $BC = \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2} = 2$
• $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Вычислим длины сторон четырехугольника MNKP:

• $PM = \sqrt{(5-4)^2 + (2-2)^2} = 1$
• $MN = \sqrt{(7-5)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $NK = \sqrt{(4-7)^2 + (0-0)^2} = 3$
• $KP = \sqrt{(4-4)^2 + (2-0)^2} = 2$

Сравнивая наборы длин сторон {3, 2, 2, $\sqrt{5}$} для ABCD и {1, 2, 3, $2\sqrt{2}$} для MNKP, мы видим, что они не совпадают. Это означает, что четырехугольники ABCD и MNKP не конгруэнтны, и, следовательно, не существует движения, которое переводит один в другой.

Однако, вероятнее всего, в условии задачи на рисунке допущена опечатка. Обе фигуры — прямоугольные трапеции с одинаковой высотой, равной 2, и одним из оснований, равным 3. Различие заключается в длине второго основания (2 у ABCD и 1 у MNKP). Если предположить, что координата точки M должна быть (6, 2), то длина стороны PM станет $6 - 4 = 2$, а длина наклонной стороны MN станет $\sqrt{(7-6)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$. В этом случае четырехугольники станут конгруэнтными.

При условии, что M имеет координаты (6, 2), найдем искомое движение. Соответствие вершин будет следующим:

A(0, 0) $\rightarrow$ N(7, 0)

B(1, 2) $\rightarrow$ M(6, 2)

C(3, 2) $\rightarrow$ P(4, 2)

D(3, 0) $\rightarrow$ K(4, 0)

Данное преобразование является осевой симметрией (отражением). Ось симметрии — это прямая, равноудаленная от соответствующих точек. Найдем середины отрезков, соединяющих соответствующие вершины, например, DK и CP:

• Середина отрезка DK: $(\frac{3+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3.5, 0)$
• Середина отрезка CP: $(\frac{3+4}{2}, \frac{2+2}{2}) = (3.5, 2)$

Обе середины лежат на вертикальной прямой $x = 3.5$. Эта прямая и является осью симметрии.

Ответ: Задача в исходном виде не имеет решения, так как четырехугольники не конгруэнтны. Если предположить опечатку в условии и считать, что координаты вершины M равны (6, 2), то искомым движением будет осевая симметрия относительно прямой $x = 3.5$.

22.170. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке 22.9, является четырёхугольник MKNP.

Рис. 22.9

Чтобы определить вид движения, при котором четырехугольник ABCD становится четырехугольником MKNP, необходимо проанализировать изменение положения его вершин. Сопоставим соответствующие вершины фигур: вершина A переходит в M, B — в K, C — в N и D — в P.

Для удобства введем прямоугольную систему координат. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты (0, 0), а сторона каждой клетки равна 1. Тогда координаты вершин четырехугольников будут следующими:
- Для четырехугольника ABCD: A(1, 2), B(2, 4), C(4, 4), D(4, 2).
- Для четырехугольника MKNP: M(1, 0), K(2, 2), N(4, 2), P(4, 0).

Рассмотрим преобразование координат для каждой пары соответствующих вершин. Найдем вектор смещения, который переводит каждую вершину ABCD в соответствующую ей вершину MKNP.
- Вектор, переводящий A в M: $\vec{AM} = (x_M - x_A, y_M - y_A) = (1 - 1, 0 - 2) = (0, -2)$.
- Вектор, переводящий B в K: $\vec{BK} = (x_K - x_B, y_K - y_B) = (2 - 2, 2 - 4) = (0, -2)$.
- Вектор, переводящий C в N: $\vec{CN} = (x_N - x_C, y_N - y_C) = (4 - 4, 2 - 4) = (0, -2)$.
- Вектор, переводящий D в P: $\vec{DP} = (x_P - x_D, y_P - y_D) = (4 - 4, 0 - 2) = (0, -2)$.

Поскольку все вершины четырехугольника ABCD смещаются на один и тот же вектор $\vec{a} = (0, -2)$, чтобы получить вершины четырехугольника MKNP, то искомое движение является параллельным переносом. Этот перенос соответствует смещению каждой точки на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

Ответ: Параллельный перенос на вектор $\vec{a}=(0, -2)$, то есть сдвиг на 2 единицы вниз.

22.171. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ образом точки A $(-3; 7)$ является точка B $(2; 3)$. Какие координаты имеет образ точки C $(1; -5)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$?

Параллельный перенос, который переводит точку $A(x_A; y_A)$ в точку $B(x_B; y_B)$, осуществляется на вектор $\vec{a}$, координаты которого равны разности координат конечной и начальной точек.

Пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y)$. Тогда:

$a_x = x_B - x_A$
$a_y = y_B - y_A$

Подставим координаты точек $A(-3; 7)$ и $B(2; 3)$:

$a_x = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$
$a_y = 3 - 7 = -4$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(5; -4)$.

Теперь найдем образ точки $C(1; -5)$ при параллельном переносе на этот вектор. Обозначим искомую точку как $C'(x_{C'}; y_{C'})$. Координаты образа точки находятся путем сложения координат исходной точки и координат вектора переноса:

$x_{C'} = x_C + a_x$
$y_{C'} = y_C + a_y$

Подставим координаты точки $C(1; -5)$ и вектора $\vec{a}(5; -4)$:

$x_{C'} = 1 + 5 = 6$
$y_{C'} = -5 + (-4) = -5 - 4 = -9$

Следовательно, образ точки $C$ имеет координаты $(6; -9)$.

Ответ: $(6; -9)$

22.172. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ образом точки $A (-5; 6)$ является точка $B (2; -1)$. Какие координаты имеет прообраз точки $D (10; -3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$?

Параллельный перенос на вектор $\vec{a} = (a_x; a_y)$ переводит точку с начальными координатами $(x; y)$ в точку с конечными координатами $(x'; y')$, которые вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$

По условию задачи, при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ образом точки $A(-5; 6)$ является точка $B(2; -1)$. Это означает, что точка $A$ является начальной точкой (прообразом), а точка $B$ — конечной (образом). Используя формулы переноса, мы можем найти координаты вектора $\vec{a}$:
$a_x = x_B - x_A = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7$
$a_y = y_B - y_A = -1 - 6 = -7$
Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{a} = (7; -7)$.

Далее необходимо найти прообраз точки $D(10; -3)$ при переносе на тот же вектор $\vec{a}$. Пусть искомая точка (прообраз) имеет координаты $C(x_C; y_C)$. В данном случае точка $C$ является начальной, а точка $D$ — конечной (образом).
Следовательно, верны следующие соотношения:
$x_D = x_C + a_x$
$y_D = y_C + a_y$

Чтобы найти координаты прообраза $C$, выразим их из формул:
$x_C = x_D - a_x$
$y_C = y_D - a_y$
Подставим известные значения координат точки $D(10; -3)$ и вектора $\vec{a}=(7; -7)$:
$x_C = 10 - 7 = 3$
$y_C = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4$
Следовательно, прообраз точки $D$ имеет координаты $(3; 4)$.

Ответ: $(3; 4)$.

22.173. Какие координаты имеет образ точки $A (-4; 6)$ при симметрии относительно начала координат?

Симметрия точки относительно начала координат (точки с координатами $(0; 0)$) означает, что для нахождения координат ее образа необходимо изменить знаки обеих исходных координат на противоположные.

Если дана точка $A(x; y)$, то ее образ $A'$ при симметрии относительно начала координат будет иметь координаты $A'(-x; -y)$.

В нашем случае дана точка $A(-4; 6)$. Применим правило симметрии:
Новая абсцисса (координата x) будет равна $-(-4) = 4$.
Новая ордината (координата y) будет равна $-(6) = -6$.

Таким образом, образ точки $A(-4; 6)$ — это точка с координатами $(4; -6)$.

Ответ: $(4; -6)$

22.174. Какие координаты имеет точка, симметричная точке $A (2; -4)$ относительно точки $M (3; -1)$?

Пусть искомая точка, симметричная точке $A(2; -4)$ относительно точки $M(3; -1)$, обозначается как $A'(x; y)$.

По определению центральной симметрии, точка $M$ является серединой отрезка $AA'$. Координаты середины отрезка ($x_M, y_M$) связаны с координатами его концов ($x_A, y_A$ и $x_{A'}, y_{A'}$) следующими формулами:

$x_M = \frac{x_A + x_{A'}}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_{A'}}{2}$

Чтобы найти координаты точки $A'$, выразим $x_{A'}$ и $y_{A'}$ из этих формул:

$2x_M = x_A + x_{A'} \implies x_{A'} = 2x_M - x_A$
$2y_M = y_A + y_{A'} \implies y_{A'} = 2y_M - y_A$

Теперь подставим известные координаты точек $A(2; -4)$ и $M(3; -1)$ в полученные формулы для вычисления координат $x$ и $y$ точки $A'$:

$x = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$
$y = 2 \cdot (-1) - (-4) = -2 + 4 = 2$

Таким образом, искомая точка $A'$ имеет координаты $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$

22.175. Какие координаты имеет образ точки $A (-2; 5)$ при симметрии относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат?

Для нахождения координат образа точки $A(-2; 5)$ при симметрии относительно осей координат, рассмотрим каждый случай отдельно.

1) оси абсцисс
Симметрия относительно оси абсцисс (оси $Ox$) преобразует точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(x; -y)$. Это означает, что абсцисса точки остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный.
Исходная точка — $A(-2; 5)$.
Абсцисса $x = -2$ не изменяется.
Ордината $y = 5$ меняет знак на $-5$.
Таким образом, координаты образа точки $A$ при симметрии относительно оси абсцисс будут $(-2; -5)$.
Ответ: $(-2; -5)$

2) оси ординат
Симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$) преобразует точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; y)$. Это означает, что ордината точки остается неизменной, а абсцисса меняет свой знак на противоположный.
Исходная точка — $A(-2; 5)$.
Абсцисса $x = -2$ меняет знак на $-(-2) = 2$.
Ордината $y = 5$ не изменяется.
Таким образом, координаты образа точки $A$ при симметрии относительно оси ординат будут $(2; 5)$.
Ответ: $(2; 5)$

22.176. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, не являющийся квадратом?

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Иными словами, это линия, которая делит фигуру на две зеркально равные части.

Рассмотрим прямоугольник, который не является квадратом. Это значит, что его смежные стороны имеют разную длину. Пусть длина прямоугольника равна $a$, а ширина — $b$, где $a \neq b$.

У такого прямоугольника есть две оси симметрии:

1. Прямая, которая соединяет середины двух противоположных более длинных сторон (длиной $a$). Эта ось параллельна более коротким сторонам.
2. Прямая, которая соединяет середины двух противоположных более коротких сторон (длиной $b$). Эта ось параллельна более длинным сторонам.

Эти две оси симметрии перпендикулярны друг другу и пересекаются в центре прямоугольника.

Диагонали прямоугольника, не являющегося квадратом, не являются его осями симметрии. Если мысленно согнуть фигуру по диагонали, то части прямоугольника не совпадут. Это отличает его от квадрата, у которого диагонали также являются осями симметрии (и их у него всего четыре).

Следовательно, прямоугольник, не являющийся квадратом, имеет ровно две оси симметрии.

Ответ: 2

22.177. Точка $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, изображённого на рисунке 22.10. Укажите образ стороны $CD$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^\circ$.

Рис. 22.10

По условию, ABCDEF — правильный шестиугольник с центром в точке O. Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников, сходящихся в центре O.

Следовательно, все центральные углы, образованные отрезками, соединяющими центр с соседними вершинами, равны $360° / 6 = 60°$. То есть, $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠EOF = ∠FOA = 60°$.

Для того чтобы найти образ стороны CD при повороте вокруг центра O на 120° по часовой стрелке, нужно найти образы ее конечных точек — C и D.

Найдем образ точки C. Поворот на 120° по часовой стрелке можно представить как два последовательных поворота по 60° в том же направлении. При повороте точки C на 60° по часовой стрелке она перейдет в точку B (так как $∠COB = 60°$). При следующем повороте на 60° по часовой стрелке точка B перейдет в точку A (так как $∠BOA = 60°$). Таким образом, при повороте на $60° + 60° = 120°$ по часовой стрелке точка C переходит в точку A.

Найдем образ точки D. Аналогично, при повороте точки D на 60° по часовой стрелке она перейдет в точку C (так как $∠DOC = 60°$). При следующем повороте на 60° по часовой стрелке точка C перейдет в точку B (так как $∠COB = 60°$). Таким образом, при повороте на $120°$ по часовой стрелке точка D переходит в точку B.

Поскольку при повороте отрезок переходит в отрезок, то образом стороны CD является отрезок, соединяющий образы ее конечных точек. Образом точки C является точка A, а образом точки D — точка B. Следовательно, образом стороны CD является сторона AB.

Ответ: сторона AB.

22.178. Точка $O$ — центр правильного восьмиугольника, изображённого на рисунке 22.11. Укажите образ стороны $A_3A_4$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $135^\circ$.

Рис. 22.11

Поскольку многоугольник $A_1A_2...A_8$ является правильным восьмиугольником, все его вершины лежат на одной окружности с центром в точке $O$ и делят ее на 8 равных частей. Следовательно, центральный угол, образованный двумя соседними вершинами и центром, одинаков для всех сторон. Найдем величину этого угла:

$\angle A_kOA_{k+1} = 360^\circ / 8 = 45^\circ$

Нам нужно найти образ стороны $A_3A_4$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $135^\circ$. Чтобы определить, на сколько позиций сместятся вершины, разделим угол поворота на величину центрального угла:

$135^\circ / 45^\circ = 3$

Это означает, что каждая вершина восьмиугольника сместится на 3 позиции против часовой стрелки.

Чтобы найти образ стороны $A_3A_4$, найдем образы ее конечных точек — вершин $A_3$ и $A_4$:

1. Вершина $A_3$ при повороте на 3 позиции против часовой стрелки перейдет в вершину $A_8$ (последовательно проходя $A_2, A_1, A_8$).

2. Вершина $A_4$ при повороте на 3 позиции против часовой стрелки перейдет в вершину $A_1$ (последовательно проходя $A_3, A_2, A_1$).

Таким образом, отрезок $A_3A_4$ переходит в отрезок $A_8A_1$.

Ответ: сторона $A_8A_1$.

22.179. Точка $O$ — центр правильного двенадцатиугольника, изображённого на рисунке 22.12. Укажите образ стороны $A_2A_3$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $150^\circ$.

Рис. 22.12

Правильный двенадцатиугольник имеет 12 равных сторон и 12 равных центральных углов. Полный угол вокруг центра O составляет $360°$.

Найдем величину центрального угла, образованного двумя соседними вершинами и центром многоугольника (например, угол $\angle A_1OA_2$).

$\alpha = \frac{360°}{12} = 30°$

Это означает, что поворот на $30°$ по часовой стрелке переводит каждую вершину $A_n$ в следующую за ней вершину $A_{n+1}$ (считая, что после $A_{12}$ идет $A_1$).

Нам нужно выполнить поворот на $150°$ по часовой стрелке. Чтобы определить, на сколько позиций сместится каждая вершина, разделим угол поворота на величину одного центрального угла:

$k = \frac{150°}{30°} = 5$

Таким образом, каждая вершина сместится на 5 позиций по часовой стрелке. Образом стороны $A_2A_3$ будет отрезок, соединяющий образы ее вершин $A_2$ и $A_3$.

1. Найдем образ вершины $A_2$. Смещаем ее на 5 позиций по часовой стрелке: $A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow A_4 \rightarrow A_5 \rightarrow A_6 \rightarrow A_7$. Итак, образ $A_2$ — это $A_7$.

2. Найдем образ вершины $A_3$. Смещаем ее на 5 позиций по часовой стрелке: $A_3 \rightarrow A_4 \rightarrow A_5 \rightarrow A_6 \rightarrow A_7 \rightarrow A_8$. Итак, образ $A_3$ — это $A_8$.

Следовательно, образом стороны $A_2A_3$ является сторона $A_7A_8$.

Ответ: $A_7A_8$.