Номер 22.17, страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.17. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ — в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BM = 3$ см, $AM = 4$ см, а площадь четырёхугольника $AMKC$ равна $80 \text{ см}^2$.

Поскольку прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$, то треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон.

Найдем длину стороны $AB$:
$AB = AM + BM = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение сторон $BM$ и $AB$:
$k = \frac{BM}{AB} = \frac{3}{7}$.

Теперь найдем отношение площадей треугольников $MBK$ и $ABC$:
$\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$.

Отсюда можем выразить площадь треугольника $MBK$ через площадь треугольника $ABC$:
$S_{\triangle MBK} = \frac{9}{49} S_{\triangle ABC}$.

Площадь четырехугольника $AMKC$ равна разности площадей треугольника $ABC$ и треугольника $MBK$:
$S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK}$.
По условию, $S_{AMKC} = 80 \text{ см}^2$. Подставим это значение и выражение для $S_{\triangle MBK}$ в формулу:
$80 = S_{\triangle ABC} - \frac{9}{49} S_{\triangle ABC}$.

Вынесем $S_{\triangle ABC}$ за скобки и решим уравнение:
$80 = S_{\triangle ABC} (1 - \frac{9}{49})$
$80 = S_{\triangle ABC} (\frac{49-9}{49})$
$80 = S_{\triangle ABC} \cdot \frac{40}{49}$
$S_{\triangle ABC} = 80 \div \frac{40}{49} = 80 \cdot \frac{49}{40} = 2 \cdot 49 = 98$.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ составляет $98 \text{ см}^2$.

Ответ: $98 \text{ см}^2$.