Страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.14. Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны $S_1$ и $S_2$.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Согласно теореме Пифагора, для этих сторон выполняется соотношение: $a^2 + b^2 = c^2$.

По условию задачи, стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Поскольку гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике, шар, построенный на гипотенузе, будет большим. Шары, построенные на катетах, будут меньшими.

Площадь поверхности шара $S$ с диаметром $d$ находится по формуле $S = \pi d^2$.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей меньших шаров, построенных на катетах $a$ и $b$ соответственно. Тогда:$S_1 = \pi a^2$$S_2 = \pi b^2$

Пусть $S$ — искомая площадь поверхности большего шара, построенного на гипотенузе $c$. Тогда:$S = \pi c^2$

Возьмём равенство из теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и умножим обе его части на $\pi$:$\pi a^2 + \pi b^2 = \pi c^2$

Теперь заменим каждое слагаемое на соответствующую ему площадь поверхности шара:$S_1 + S_2 = S$

Таким образом, площадь поверхности большего шара равна сумме площадей поверхностей меньших шаров.

Ответ: $S_1 + S_2$.

21.15. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны $S_1$ и $S_2$.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, один из углов треугольника равен $120^\circ$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол в $120^\circ$ является тупым, он — наибольший угол в данном треугольнике. Следовательно, сторона, лежащая напротив этого угла, является наибольшей. Обозначим эту сторону как $c$, а две другие стороны, образующие угол $120^\circ$, как $a$ и $b$.

Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Площадь поверхности шара $S$ связана с его диаметром $d$ формулой $S = \pi d^2$. Из этой формулы можно выразить квадрат диаметра: $d^2 = S/\pi$.

Пусть $S_c$ — площадь поверхности большего шара (с диаметром $c$), а $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей меньших шаров (с диаметрами $a$ и $b$ соответственно). Тогда квадраты сторон треугольника можно выразить через площади поверхностей соответствующих шаров: $a^2 = S_1 / \pi$, $b^2 = S_2 / \pi$ и $c^2 = S_c / \pi$.

Для нахождения связи между сторонами треугольника воспользуемся теоремой косинусов для стороны $c$, лежащей против угла $120^\circ$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$.

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-1/2$. Подставив это значение в формулу, получим: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-1/2) = a^2 + b^2 + ab$.

Теперь подставим в полученное равенство выражения для сторон через площади поверхностей шаров. Для этого также выразим произведение $ab$. Поскольку $a = \sqrt{S_1/\pi}$ и $b = \sqrt{S_2/\pi}$, то их произведение равно $ab = \sqrt{(S_1/\pi)(S_2/\pi)} = \sqrt{S_1 S_2} / \pi$.

Подставляем все выражения в уравнение теоремы косинусов: $S_c/\pi = S_1/\pi + S_2/\pi + \sqrt{S_1 S_2} / \pi$.

Чтобы найти $S_c$, умножим обе части уравнения на $\pi$. В результате получаем выражение для площади поверхности большего шара: $S_c = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$.

Ответ: $S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$

21.16. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью её основания угол $\beta$. Найдите площадь поверхности шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. По условию, один из катетов равен $a$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Будем считать, что катет $AC = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = \alpha$. Вершину пирамиды обозначим как S.

Так как все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания одинаковый угол $\beta$, то вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим эту точку O. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, O — середина гипотенузы AB.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около основания

В прямоугольном треугольнике ABC с катетом $AC=a$ и углом $\angle A = \alpha$ гипотенузу AB можно найти из соотношения $\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB}$.

Отсюда гипотенуза $AB = \frac{a}{\cos(\alpha)}$.

Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания, равен половине гипотенузы:

$R_{осн} = OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$.

2. Нахождение радиуса шара, описанного около пирамиды

Центр описанного шара, точка Q, равноудалена от всех вершин пирамиды (A, B, C, S). Поскольку она равноудалена от вершин основания, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности O. Этим перпендикуляром является высота пирамиды SO. Таким образом, центр шара Q лежит на прямой SO.

Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через вершину S и диаметр AB описанной окружности основания. В сечении получится равнобедренный треугольник ABS (SA = SB), который вписан в большую окружность описанного шара. Радиус этой окружности и есть радиус шара R.

В прямоугольном треугольнике SOA катет $OA = R_{осн}$, а угол $\angle SAO = \beta$ (угол между боковым ребром и плоскостью основания). Высота пирамиды $H = SO = OA \cdot \tan(\beta)$, а длина бокового ребра $L = SA = \frac{OA}{\cos(\beta)}$.

Радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABS, можно найти по формуле $R = \frac{L^2}{2H}$. Подставим выражения для L и H:

$R = \frac{\left(\frac{R_{осн}}{\cos(\beta)}\right)^2}{2 \cdot R_{осн} \tan(\beta)} = \frac{\frac{R_{осн}^2}{\cos^2(\beta)}}{2 R_{осн} \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}} = \frac{R_{осн}}{2\sin(\beta)\cos(\beta)} = \frac{R_{осн}}{\sin(2\beta)}$.

Теперь подставим найденное ранее значение $R_{осн}$:

$R = \frac{\frac{a}{2\cos(\alpha)}}{\sin(2\beta)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)\sin(2\beta)}$.

3. Нахождение площади поверхности шара

Площадь поверхности шара S вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное выражение для радиуса R:

$S = 4\pi \left( \frac{a}{2\cos(\alpha)\sin(2\beta)} \right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)} = \frac{\pi a^2}{\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)}$

21.17. Высота правильной треугольной пирамиды равна $H$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. $SO$ — высота пирамиды, по условию $SO = H$. Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Проведем апофему $SM$, где $M$ — середина ребра $AC$. Так как пирамида правильная, $SM \perp AC$. Также, поскольку $O$ — центр основания, $OM$ является радиусом вписанной окружности и $OM \perp AC$.

Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $SOM$. Это прямоугольный треугольник $SOM$, в котором $\angle SOM = 90^\circ$, катет $SO = H$ и $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного в правильную пирамиду шара лежит на ее высоте. Обозначим центр шара как $O_{сф}$, а его радиус — $r$. Центр $O_{сф}$ равноудален от всех граней пирамиды. Расстояние от $O_{сф}$ до плоскости основания $ABC$ равно радиусу шара, то есть $OO_{сф} = r$.

Точка $O_{сф}$ также должна быть равноудалена от плоскости основания и боковой грани $SAC$. Это означает, что она лежит на биссекторной плоскости двугранного угла $\alpha$. В нашем сечении $SOM$, точка $O_{сф}$ является точкой пересечения высоты $SO$ и биссектрисы угла $\angle SMO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMO_{сф}$. В нем $\angle MOO_{сф} = 90^\circ$, катет $OO_{сф} = r$, а угол $\angle OMO_{сф}$ равен половине двугранного угла, то есть $\angle OMO_{сф} = \frac{\alpha}{2}$.

Из треугольника $OMO_{сф}$ находим: $ \tan(\angle OMO_{сф}) = \frac{OO_{сф}}{OM} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{OM} $ Отсюда $r = OM \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем длину отрезка $OM$ из треугольника $SOM$: $ \mathrm{ctg}(\angle SMO) = \frac{OM}{SO} \implies \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{OM}{H} $ Отсюда $OM = H \cdot \mathrm{ctg}(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для $OM$ в формулу для радиуса $r$: $ r = (H \cdot \mathrm{ctg}(\alpha)) \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) $ Упростим это выражение, используя тригонометрические тождества: $ r = H \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} $ Применим формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$: $ r = H \cdot \frac{\cos(\alpha)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = H \cdot \frac{\cos(\alpha)}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} $ Используя формулу понижения степени $2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(\alpha)$, получаем: $ r = H \frac{\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} $

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Подставим найденное значение радиуса: $ S = 4\pi \left( H \frac{\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \right)^2 = 4\pi H^2 \frac{\cos^2(\alpha)}{(1 + \cos(\alpha))^2} $

Ответ: $S = 4\pi H^2 \frac{\cos^2(\alpha)}{(1 + \cos(\alpha))^2}$.

21.18. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь поверхности части сферы, лежащей внутри конуса, равна площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания, а $2\alpha$ – угол при вершине осевого сечения. Тогда $\alpha$ – это угол между высотой конуса и его образующей.

По условию, на высоте конуса как на диаметре построена сфера. Это означает, что радиус сферы $r_{сф} = H/2$, а ее центр находится на середине высоты конуса.

Введем систему координат. Пусть вершина конуса находится в начале координат $(0,0,0)$, а его ось совпадает с осью $Oz$. Тогда высота конуса лежит на отрезке оси $Oz$ от $0$ до $H$. Центр сферы находится в точке $(0, 0, H/2)$.

Уравнение поверхности конуса: $x^2 + y^2 = z^2 \tan^2\alpha$.

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + (z - H/2)^2 = (H/2)^2$, что можно упростить до $x^2 + y^2 + z^2 - Hz = 0$.

Найдем линию пересечения конуса и сферы. Для этого подставим выражение для $x^2 + y^2$ из уравнения конуса в уравнение сферы: $z^2 \tan^2\alpha + z^2 - Hz = 0$ $z^2(\tan^2\alpha + 1) - Hz = 0$ $z^2\sec^2\alpha - Hz = 0$ $z(z\sec^2\alpha - H) = 0$

Решения этого уравнения: $z = 0$ (вершина конуса) и $z = H / \sec^2\alpha = H\cos^2\alpha$. Таким образом, конус и сфера пересекаются в вершине и по окружности, лежащей в плоскости $z = H\cos^2\alpha$.

1. Найдем площадь части сферы, лежащей внутри конуса ($S_1$)

Точка $(x,y,z)$ на сфере лежит внутри конуса, если выполняется условие $\sqrt{x^2+y^2} \le z \tan\alpha$. Из уравнения сферы имеем $x^2+y^2 = Hz - z^2$. Подставляя это в неравенство, получаем: $\sqrt{Hz - z^2} \le z \tan\alpha$ $Hz - z^2 \le z^2 \tan^2\alpha$ $Hz \le z^2(1 + \tan^2\alpha)$ $H \le z \sec^2\alpha$ (мы разделили на $z > 0$) $z \ge H \cos^2\alpha$

Таким образом, искомая часть поверхности сферы – это сферический сегмент (шапочка), находящийся между плоскостью $z = H\cos^2\alpha$ и "вершиной" сферы при $z=H$. Высота этого сегмента $h_1 = H - H\cos^2\alpha = H\sin^2\alpha$. Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2\pi r_{сф} h$. В нашем случае: $S_1 = 2\pi (H/2) (H\sin^2\alpha) = \pi H^2 \sin^2\alpha$.

2. Найдем площадь части поверхности конуса, лежащей внутри сферы ($S_2$)

Эта часть конуса представляет собой боковую поверхность меньшего конуса с той же вершиной, что и у исходного. Высота этого меньшего конуса $h_2$ простирается от вершины $z=0$ до плоскости пересечения $z = H\cos^2\alpha$. Итак, $h_2 = H\cos^2\alpha$.

Радиус основания этого меньшего конуса $r_2 = h_2 \tan\alpha = (H\cos^2\alpha)\tan\alpha = H\sin\alpha\cos\alpha$.

Образующая этого меньшего конуса $l_2 = \sqrt{h_2^2 + r_2^2} = h_2 / \cos\alpha = (H\cos^2\alpha)/\cos\alpha = H\cos\alpha$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi r l$. В нашем случае: $S_2 = \pi r_2 l_2 = \pi (H\sin\alpha\cos\alpha)(H\cos\alpha) = \pi H^2\sin\alpha\cos^2\alpha$.

3. Найдем угол $2\alpha$

По условию задачи, $S_1 = S_2$. $\pi H^2\sin^2\alpha = \pi H^2\sin\alpha\cos^2\alpha$

Для конуса угол $\alpha \in (0, \pi/2)$, поэтому $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$. Мы можем сократить уравнение на $\pi H^2\sin\alpha$: $\sin\alpha = \cos^2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, получаем: $\sin\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ $\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin\alpha$. Решим его: $\sin\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как $\alpha$ – острый угол, $\sin\alpha$ должен быть положительным. Следовательно, мы выбираем решение со знаком "плюс": $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Нам нужно найти угол при вершине осевого сечения, то есть $2\alpha$. Найдем $\cos(2\alpha)$: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Из уравнения $\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 = 0$ следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \sin\alpha$. Подставим это в формулу для косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2(1 - \sin\alpha) = 1 - 2 + 2\sin\alpha = 2\sin\alpha - 1$.

Теперь подставим найденное значение $\sin\alpha$: $\cos(2\alpha) = 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) - 1 = (\sqrt{5}-1) - 1 = \sqrt{5}-2$.

Таким образом, искомый угол $2\alpha$ равен $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

21.19. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь части поверхности сферы, лежащей вне конуса, равна площади основания конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $2\alpha$ — угол при вершине осевого сечения конуса. Тогда $\alpha$ — это угол между высотой конуса и его образующей. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, следует соотношение: $R = H \tan \alpha$.

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (H \tan \alpha)^2 = \pi H^2 \tan^2 \alpha$.

Согласно условию, на высоте конуса как на диаметре построена сфера. Это означает, что радиус сферы $r_{сф}$ равен половине высоты конуса: $r_{сф} = H/2$. Центр сферы находится на середине высоты конуса.

Чтобы найти площадь части поверхности сферы, лежащей вне конуса ($S_{внеш}$), найдем сначала линию их пересечения. Для удобства введем систему координат, в которой вершина конуса $S$ находится в точке $(0, 0, H)$, а центр основания $O$ — в начале координат $(0, 0, 0)$. Высота конуса лежит на оси $Oz$.

Уравнение сферы с центром в точке $(0, 0, H/2)$ и радиусом $H/2$ имеет вид:

$x^2 + y^2 + (z - H/2)^2 = (H/2)^2$, что равносильно $x^2 + y^2 + z^2 - Hz = 0$.

Уравнение боковой поверхности конуса: $x^2 + y^2 = \left(\frac{R}{H}(H-z)\right)^2 = \tan^2 \alpha (H-z)^2$.

Для нахождения пересечения подставим выражение для $x^2 + y^2$ из уравнения конуса в уравнение сферы:

$\tan^2 \alpha (H-z)^2 + z^2 - Hz = 0$

$\tan^2 \alpha (H-z)^2 - z(H-z) = 0$

$(H-z)[\tan^2 \alpha (H-z) - z] = 0$

Это уравнение имеет два решения для координаты $z$:

1. $z = H$, что соответствует вершине конуса.
2. $\tan^2 \alpha (H-z) - z = 0 \implies H \tan^2 \alpha = z(1+\tan^2 \alpha) \implies z = H \frac{\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha} = H \sin^2 \alpha$.

Таким образом, конус и сфера пересекаются по окружности, лежащей в плоскости $z_{int} = H \sin^2 \alpha$.

Теперь определим, какая часть поверхности сферы лежит вне конуса. Точка на поверхности сферы находится вне конуса, если расстояние от нее до оси конуса больше, чем радиус конуса на той же высоте. Для точки $(x,y,z)$ на сфере имеем $x^2+y^2 = Hz-z^2$. Радиус конуса на высоте $z$ равен $r_{кон}(z) = \tan \alpha (H-z)$. Условие "вне конуса" записывается как $\sqrt{Hz-z^2} > \tan \alpha (H-z)$. Возведя в квадрат, получим $z(H-z) > \tan^2 \alpha (H-z)^2$. Так как $z \in (0, H)$, то $H-z > 0$, и можно на него сократить: $z > \tan^2 \alpha (H-z)$, что приводит к $z > H \sin^2 \alpha$.

Следовательно, часть поверхности сферы вне конуса — это сферический сегмент (шапочка), находящийся при $z > H \sin^2 \alpha$. Этот сегмент включает вершину конуса. Высота этого сферического сегмента $h_{сегм}$ равна:

$h_{сегм} = H - z_{int} = H - H \sin^2 \alpha = H \cos^2 \alpha$.

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2 \pi r_{сф} h_{сегм}$.

$S_{внеш} = 2 \pi \left(\frac{H}{2}\right) (H \cos^2 \alpha) = \pi H^2 \cos^2 \alpha$.

По условию задачи, $S_{внеш} = S_{осн}$:

$\pi H^2 \cos^2 \alpha = \pi H^2 \tan^2 \alpha$.

Сокращая на $\pi H^2$, получаем:

$\cos^2 \alpha = \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Отсюда $\cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, имеем:

$\cos^4 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

Сделаем замену $x = \cos^2 \alpha$. Так как $0 < \alpha < \pi/2$, то $0 < x < 1$.

$x^2 = 1 - x \implies x^2 + x - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $x > 0$, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \cos^2 \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Нам нужно найти угол при вершине осевого сечения, то есть $2\alpha$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$.

$\cos(2\alpha) = 2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) - 1 = (\sqrt{5}-1) - 1 = \sqrt{5}-2$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

21.20. Докажите, что отношение объёмов усечённого конуса и вписанного в него шара равно отношению полной поверхности усечённого конуса к поверхности шара.

Для доказательства нам необходимо найти отношение объемов и отношение полных поверхностей, а затем сравнить их.

1. Введем обозначения и установим связи между параметрами.

Пусть усеченный конус имеет радиусы оснований $R$ и $r$ ($R > r$), высоту $h$ и образующую $l$. Пусть вписанный в него шар имеет радиус $R_{ш}$.

Поскольку шар вписан в усеченный конус, он касается обоих оснований и боковой поверхности.

• Касание оснований означает, что расстояние между основаниями, то есть высота конуса $h$, равно диаметру шара. Следовательно, $h = 2R_{ш}$.
• Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность (сечение шара). Основания трапеции равны $2R$ и $2r$, а боковые стороны равны образующей $l$. Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Применительно к нашей трапеции: $2R + 2r = l + l$, что упрощается до $l = R + r$.

2. Найдем отношение объемов.

Объем усеченного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$.
Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R_{ш}^3$.

Найдем их отношение, подставив $h = 2R_{ш}$: $$ \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)}{\frac{4}{3}\pi R_{ш}^3} = \frac{h(R^2 + Rr + r^2)}{4R_{ш}^3} = \frac{2R_{ш}(R^2 + Rr + r^2)}{4R_{ш}^3} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{2R_{ш}^2} $$

3. Найдем отношение полных поверхностей.

Полная поверхность усеченного конуса складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{кон} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)l$.
Поверхность шара: $S_{шара} = 4\pi R_{ш}^2$.

Найдем их отношение, подставив $l = R + r$: $$ \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{\pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)l}{4\pi R_{ш}^2} = \frac{R^2 + r^2 + (R+r)l}{4R_{ш}^2} = \frac{R^2 + r^2 + (R+r)(R+r)}{4R_{ш}^2} $$ $$ = \frac{R^2 + r^2 + R^2 + 2Rr + r^2}{4R_{ш}^2} = \frac{2R^2 + 2Rr + 2r^2}{4R_{ш}^2} = \frac{2(R^2 + Rr + r^2)}{4R_{ш}^2} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{2R_{ш}^2} $$

4. Сравнение результатов.

Мы получили, что оба отношения равны одному и тому же выражению: $$ \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{2R_{ш}^2} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение объема усеченного конуса к объему вписанного в него шара равно отношению полной поверхности усеченного конуса к поверхности шара.

21.21. Около шара радиуса 1 см описан конус, высота которого равна 4 см. Найдите отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Для решения задачи необходимо найти площадь полной поверхности конуса и площадь поверхности шара, а затем вычислить их отношение. Обозначим радиус шара как $r$, высоту конуса как $H$, радиус основания конуса как $R$ и образующую конуса как $l$.

По условию дано:

• Радиус шара $r = 1$ см.
• Высота конуса $H = 4$ см.

Сначала вычислим площадь поверхности шара по формуле $S_{шара} = 4 \pi r^2$.
Подставив значение $r=1$ см, получаем:
$S_{шара} = 4 \pi (1)^2 = 4\pi$ см².

Теперь найдем параметры конуса: радиус основания $R$ и образующую $l$. Для этого рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписан шар. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота треугольника является высотой конуса $H$, а радиус вписанной окружности — радиусом шара $r$.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с вершиной $A$ и высотой $AO = H = 4$. Центр вписанной окружности $P$ (который является центром шара) лежит на высоте $AO$. Расстояние от центра $P$ до основания конуса равно радиусу шара, то есть $PO = r = 1$. Следовательно, расстояние от вершины конуса $A$ до центра шара $P$ равно $AP = AO - PO = H - r = 4 - 1 = 3$ см.

Проведем из центра $P$ радиус $PK$ в точку касания с образующей $AC$. Треугольник $\triangle APK$ будет прямоугольным, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Треугольник $\triangle AOC$ также является прямоугольным, так как $AO$ — высота конуса. Треугольники $\triangle APK$ и $\triangle AOC$ подобны по общему острому углу $\angle OAC$ и прямым углам ($\angle PKA = \angle AOC = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{PK}{OC} = \frac{AP}{AC}$
Подставляя обозначения $PK = r$, $OC = R$, $AP = H-r$ и $AC = l$, получаем:
$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{l}$
Подставим известные числовые значения:
$\frac{1}{R} = \frac{3}{l} \Rightarrow l = 3R$.

С другой стороны, для прямоугольного треугольника $\triangle AOC$ по теореме Пифагора выполняется равенство: $l^2 = H^2 + R^2$.
Подставим в это уравнение найденное соотношение $l = 3R$ и известную высоту $H=4$:
$(3R)^2 = 4^2 + R^2$
$9R^2 = 16 + R^2$
$8R^2 = 16$
$R^2 = 2 \Rightarrow R = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину образующей:
$l = 3R = 3\sqrt{2}$ см.

Далее вычислим площадь полной поверхности конуса. Она состоит из площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R l$):
$S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R(R+l)$.
Подставим найденные значения $R = \sqrt{2}$ и $l = 3\sqrt{2}$:
$S_{конуса} = \pi \sqrt{2}(\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) = \pi \sqrt{2}(4\sqrt{2}) = 4\pi (\sqrt{2})^2 = 4\pi \cdot 2 = 8\pi$ см².

Наконец, найдем искомое отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара:
$\frac{S_{конуса}}{S_{шара}} = \frac{8\pi}{4\pi} = 2$.

Ответ: 2

21.22. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Угол $A$ в 3 раза больше угла $C$, а угол $B$ в 5 раз меньше угла $A$. Найдите угол $D$.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то по свойству вписанного четырёхугольника суммы его противолежащих углов равны $180^\circ$. Таким образом, справедливы следующие равенства:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи нам известно, что $\angle A = 3 \cdot \angle C$. Подставим это соотношение в первое равенство:

$3 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$

$4 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Теперь мы можем найти величину угла $A$:

$\angle A = 3 \cdot \angle C = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Далее, по условию, угол $B$ в 5 раз меньше угла $A$. Вычислим угол $B$:

$\angle B = \frac{\angle A}{5} = \frac{135^\circ}{5} = 27^\circ$

Наконец, чтобы найти угол $D$, используем второе равенство для суммы противолежащих углов:

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$27^\circ + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - 27^\circ = 153^\circ$

Ответ: $153^\circ$

21.23. Отрезок $BM$ — медиана треугольника $ABC$. Известно, что $BM = m$, $\angle ABM = \alpha$, $\angle MBC = \beta$. Найдите сторону $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BM$ — медиана, $BM = m$, $\angle ABM = \alpha$, $\angle MBC = \beta$.

Для нахождения стороны $AB$ выполним дополнительное построение. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $BM = MD$. Таким образом, длина отрезка $BD$ составит $BM + MD = m + m = 2m$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. По построению, $M$ — середина отрезка $BD$. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ также является серединой стороны $AC$.

Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. Прямая $BD$ является секущей при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ADB$ и $\angle MBC$ равны. Таким образом, $\angle ADB = \beta$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны сторона $BD = 2m$, угол $\angle ABD = \alpha$ и угол $\angle ADB = \beta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол треугольника $ABD$ равен:

$\angle BAD = 180^\circ - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Применим к треугольнику $ABD$ теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон:

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)}$

Отсюда выразим искомую сторону $AB$:

$AB = \frac{2m \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $\frac{2m \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.