Номер 21.15, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.15. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны $S_1$ и $S_2$.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, один из углов треугольника равен $120^\circ$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол в $120^\circ$ является тупым, он — наибольший угол в данном треугольнике. Следовательно, сторона, лежащая напротив этого угла, является наибольшей. Обозначим эту сторону как $c$, а две другие стороны, образующие угол $120^\circ$, как $a$ и $b$.

Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Площадь поверхности шара $S$ связана с его диаметром $d$ формулой $S = \pi d^2$. Из этой формулы можно выразить квадрат диаметра: $d^2 = S/\pi$.

Пусть $S_c$ — площадь поверхности большего шара (с диаметром $c$), а $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей меньших шаров (с диаметрами $a$ и $b$ соответственно). Тогда квадраты сторон треугольника можно выразить через площади поверхностей соответствующих шаров: $a^2 = S_1 / \pi$, $b^2 = S_2 / \pi$ и $c^2 = S_c / \pi$.

Для нахождения связи между сторонами треугольника воспользуемся теоремой косинусов для стороны $c$, лежащей против угла $120^\circ$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$.

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-1/2$. Подставив это значение в формулу, получим: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-1/2) = a^2 + b^2 + ab$.

Теперь подставим в полученное равенство выражения для сторон через площади поверхностей шаров. Для этого также выразим произведение $ab$. Поскольку $a = \sqrt{S_1/\pi}$ и $b = \sqrt{S_2/\pi}$, то их произведение равно $ab = \sqrt{(S_1/\pi)(S_2/\pi)} = \sqrt{S_1 S_2} / \pi$.

Подставляем все выражения в уравнение теоремы косинусов: $S_c/\pi = S_1/\pi + S_2/\pi + \sqrt{S_1 S_2} / \pi$.

Чтобы найти $S_c$, умножим обе части уравнения на $\pi$. В результате получаем выражение для площади поверхности большего шара: $S_c = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$.

Ответ: $S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$